Ecuaciones e inecuaciones

ECUACIONES E INECUACIONES
ECUACION
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida através de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendode los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, quees el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Por lo general, los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se diceque la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es en realidad una identidad.
TIPOS DE ECUACIONES
Ecuación Algebraica
Una ecuaciónalgebraica, polinómica o polinomial es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:

Definición
Se llama ecuación algebraica con una incógnita la ecuación que se reduce a lo que sigue
α0xn + α1xn-1 + α2xn-2 + ...αn-1x + αn = 0.
donde n es un número entero positivo; α0, α1, α2, ...,αn-1, αn se denominan coeficientes o parámetros de la ecuación y se toman dados; x se nombra incógnita y esbuscada. El número positivo se llama grado de la ecuación. Para definir un número algebraico se consideran como coeficientes, números racionales.
Forma canónica
Realizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadas lasincógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suele estudiarse las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.
En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

Grado
Se denomina grado de una ecuaciónpolinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.
Las ecuaciones polinómicas de grado de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galoisasociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi....