ecuaciones e inecuaciones

Parte I
Ecuaciones lineales

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas que involucra variables.

Ejemplos
Ecuaciones en una variable
variables
3x − 2 = 7
1 − lnx = 0
cos x − sen x = 1 − x
3x 2 − 5x = 2.

Ecuaciones en varias
3x − 2y = 1 − 4x
x 2 + y 2 = 25

Ecuaciones lineales
Solución de una ecuación:
Es el conjunto de valores de lavariable (o variables) que hacen
cierta la igualdad.

Ejemplos
(A) 3 es solución de 3x − 2 = 7, pues es el único valor real
que hace verdadera la igualdad. El conjunto solución es
{3} .

(B) Dada la ecuación x 2 − 5x + 6 = 0. La transformamos en
(x − 2)(x − 3) = 0 y observamos que el conjunto solución
es {2, 3} .

(C) (3, 4) es una solución de la ecuación x 2 + y 2 = 25 pero
hay muchas más,por ejemplo (−3, 4), (0, 5), (−5, 0), etc.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto
solución.
Para encontrar el conjunto solución de una ecuación muchas
veces la transformamos en una equivalente que sea fácil de
solucionar; para ello utilizamos las propiedades de la igualdad.
Si a = b entonces para cualquier c tenemos: a + c = b + c,
a − c =b − c, a.c = b.c y si además c = 0, a/c = b/c.

Ecuaciones lineales

Son de la forma ax + b = c con a, b y c números reales.
Claramente se tiene la siguiente cadena de ecuaciones
equivalentes:
ax + b = c
ax = c − b
c−b
c−b
x=
y el conjunto solución es
.
a
a

Ecuaciones lineales

Ejercicio
Resolver las siguientes ecuaciones
3x − 2(2x − 5) = 2(x − 3) − 8
x+1
3

−

x
4=

1
2

3x − 4 = 5 + 3(x − 3)
2x − 3 − x = x + 5
5t−22
t 2 −6t+9

−

11
t 2 −3t

−

5
t

=0

Ecuaciones lineales

Ejercicio
Hallar cuatro enteros pares consecutivos, tales que la suma de
los tres primeros exceda al cuarto en 8.

Ecuaciones lineales

Solución
Sea n el primer entero par, entonces los otros pares siguientes
son n + 2, n + 4 y n + 6.
De acuerdocon las condiciones del problema, tenemos
n + (n + 2) + (n + 4) = (n + 6) + 8,
luego,
n = 4.

Ecuaciones lineales

Ejercicio
Si un lado de un triángulo es la tercera parte del perímetro, el
segundo lado mide 7 cm y el tercer lado es un quinto del
perímetro, ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

Ecuaciones lineales

Ejercicio
Un rectángulo cuyo largo es de 24 cm tiene la mismasuperficie
que un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo?

Ecuaciones lineales

Ejercicio
La distancia marítima entre San Francisco y Honolulú es de
2.100 millas náuticas. Si un barco sale de San Francisco al
mismo tiempo que otro sale de Honolulú, y si el primero viaja a
15 millas náuticas por hora y el segundo a 20 millas náuticas
por hora, ¿Cuánto tardarán losbarcos en encontrarse? ¿A qué
distancia se encontrarán de San Francisco y de Honolulú en
ese momento?

Ecuaciones lineales

Ejercicio
Una lancha tarda 1,5 veces más al remontar un río y recorrer
360 millas contra la corriente, que al regreso. Si navega a una
velocidad de 15 millas por hora en agua tranquila, ¿Cuál es la
velocidad de la corriente?

Ecuaciones lineales

Solución
Seax la velocidad de la corriente,
15 − x la velocidad de la lancha contra la corriente,
15 + x la velocidad de la lancha a favor de la corriente.

Ecuaciones lineales

Tenemos además que

Tiempo contra la corriente = (1,5)(Tiempo con la corriente a favor)
Distancia a favor de la corriente
Distancia contra la corriente
= (1,5)
Velocidad contra la corriente
Velocidad a favor de lacorriente
360
360
= (1,5)
15 − x
15 + x
x =3
La velocidad de la corriente del río es 3 millas náuticas por
hora.

Ecuaciones lineales

Ejercicio
¿Cuántos litros de una mezcla que contiene 80 % de alcohol se
deben agregar a 5 litros de una solución que está al 20 % para
producir una solución al 30 % ?

Parte II
Ecuaciones cuadráticas

Ecuación de segundo grado

Ejercicio...