Ecuaciones L.

MATRICES Y ALGEBRA LINEAL


3.1Definición de matriz

Una matriz A= [pic]es un arreglo rectangular de elementos [pic]ubicados en m filas y n columnas
A=[pic] (2.1)

Donde [pic]es el elemento ubicado en la i-ésima fila y la j-ésima columna. Los elementos que forman la matriz pueden ser números complejoso magnitudes de cualquier campo físico con una estructura aún más compleja. En particular si los [pic]son números reales, entonces A es denominada una matriz real.
La dimensión de A es mxn y cuando m=n se dice que A es una matriz cuadrada. Si n=1, diremos que A es una matriz columna o un vector columna (más específicamente un vector columna m-dimensional). Si a la inversa m=1, A es una matrizfila. Cuando m=n=1 A se reduce a un solo elemento o a un escalar. Si [pic]=0 para todo i y j, entonces A es la matriz nula.

1. Operaciones con matrices

Igualdad de matrices: Dos matrices A= [pic]y B= [pic]del mismo orden (es decir con igual número de filas y columnas) son iguales, A=B, si y sólo si [pic]=[pic] para todo i y j.

Multiplicación de una matriz por un escalar: Sea [pic] unnúmero complejo y sea A= [pic]una matriz de dimensiones mxn; entonces, el producto [pic] A es una nueva matriz C= [pic], tal que [pic] para todo i y j.

Adición y sustracción de matrices: Si dos matrices A= [pic]y B= [pic]tienen el mismo orden (dimensión) definimos la suma o diferencia de matrices, C=A[pic]B, como una nueva matriz C= [pic], tal que [pic] para todo i y j. La adición de matrices esuna operación conmutativa, es decir A+B=B+A, o en una forma más general A+B+C = (A+B )+C = A +(B +C ), no ocurre lo mismo con la sustracción.

Multiplicación de matrices: Sea A= [pic](de dimensión mxn) y B= [pic](de dimensión nxp), se define el producto entre matrices, A B ó A[pic]B, como una nueva matriz C= [pic](de dimensión mxp), donde[pic] (2.2)
Ejemplo1:
A=[pic] B=[pic]
AB=[pic] BA=[pic]

Ejemplo 2:

A=[pic] , B=[pic] , AB=[pic]

Debemos hacer notar que la multiplicación AB está definida si y sólo si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. En este caso se dice que ambas matrices sonconformables en el orden indicado (AB). En general el producto entre matrices no es conmutativo (ver Ejemplo 1), es decir: AB[pic]BA. Si A= [pic]y B= [pic], entonces AB está definido, pero BA no lo está a menos que m=p. Sin embargo, si m=p, AB y BA son de distinto orden, a menos que m=n. Si A y B son matrices cuadradas (igual número de filas que de columnas) y del mismo orden, entonces el productoconmuta, AB=BA.

Ejemplo 3: A=[pic] y B=[pic], entonces AB=BA

Resulta consistente con las definiciones anteriores, el dividir una matriz en submatrices menores. Este proceso es conocido como partición de una matriz y resulta muy útil en programación, especialmente cuando se trabaja con matrices de grandes dimensiones. Por ejemplo, si partimos simétricamente una matriz cuadrada Ade orden tres de la forma
A=[pic][pic][pic]

Donde los elementos de la partición son las submatrices

[pic] , [pic] , [pic] y [pic]

Si hacemos una partición similar para una matriz cuadrada C de orden tres
C= [pic] [pic][pic]
Se verifica que la suma o diferencia y el producto de ambas matricespuede ser expresado en función de sus submatrices como:

A[pic]B=[pic] y AB=[pic] (2.3)

En general se puede afirmar que, si partimos dos matrices conformables en un producto, serán condiciones necesarias y suficientes para aplicar la definición siguiente: (‘la adición, sustracción y producto de dos matrices puede ser obtenida a partir de la adición,...