Ecuaciones y desigualdades lineales

ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRATICAS
Durante siglos, el estudio del álgebra ha estado estrechamente relacionado con el estudio de las ecuaciones. Una ecuación es un enunciado que afirma que dos expresiones algebraicas son iguales. En esta sección se analizarán las ecuaciones lineales y cuadráticas, así como las desigualdades relacionadas con ellas. Muchas aplicaciones a situacionesprácticas de las matemáticas De hecho, en este siglo las desigualdades han adquirido una gran importancia debido a su utilidad al aplicarse a la programación lineal en los negocios y en otras áreas.
En esta sección se estudiarán las ecuaciones lineales y cuadráticas con una sola variable, así como las desigualdades.

Definición                               
Una ecuación lineal es una que sepuede escribir en la forma
                          ax + b = 0 siendo a =/= 0
Una ecuación cuadrática es una que se puede escribir en la forma
                          ax2 + bx + c = 0 siendo a =/= 0
Las expresiones que aparecen en ambos lados del signo de igualdad reciben el nombre de lados o miembros de la ecuación. La ecuación
6x – 5 = 2x + 7
Es verdadera si x se sustituye por 3 ya queen tal caso cada lado es igual a 13.  Sin embargo, es falsa si x se sustituye por 4, ya que en ese caso los lados son 19  y 15. Al número que hace de una ecuación un enunciado verdadero se le llama solución o raíz de la ecuación. Se dice que una raíz, o solución, satisface la ecuación. Al conjunto de todas las soluciones de una ecuación se le llama conjunto solución. Resolver una ecuación quieredecir hallar todas sus soluciones.
Algunas ecuaciones son válidas para todo valor de la variable, o incógnita, para las que estén definidas todas las expresiones. Por ejemplo, y
[pic]
Son verdaderas para todo valor real de x, excepto que x = 2 no está permitido en la segunda ecuación porque la división entre cero no está definida. Una identidad es una ecuación que es válida para todo valor de lavariable, si todas las expresiones están definidas. Todo número permisible es una solución de una identidad.

Si una ecuación no es una identidad, recibe el nombre de ecuación condicional. La ecuación x = 5 es una ecuación condicional ya que es cierta sólo si x tiene    el valor 5. La ecuación x + 17 = x + 19 es una ecuación condicional sin     solución. La ecuación 6x – 17 = 2x + 11 también escondicional ya que se satisface con x = 7, pero no por ejemplo con x = –4.
Cuanto más simple sea la forma de la ecuación, más fácil será resolverla. Por ejemplo, es fácil ver que x = 4 es una solución de 2x = 8, mientras que con la ecuación
7x – 45 = 5x – 37
la única forma de hallar la solución en este momento es elegir un valor de x y luego sustituirlo para ver si satisface la ecuación. Si xse sustituye por 4 en esta ecuación y se simplifica, se obtiene 28 – 45 = –17 en el lado izquierdo y          20 – 37 = –17 en el lado derecho. Eso significa que x = 4 es efectivamente una raíz.

Equivalentes                           
Dos ecuaciones son equivalentes si toda solución de una de ellas también es solución de la otra. Así, dos ecuaciones son equivalentes si y sólo si tienen el mismoconjunto solución.
Haremos un uso extensivo del concepto de ecuaciones equivalentes para resolver ecuaciones. La finalidad es la de sustituir una ecuación por ecuaciones equivalentes más simples sucesivamente hasta que se obtenga una que se pueda resolver con facilidad. Para lograr esto, se utilizan algunas de las propiedades de los números reales dadas antes. Específicamente, se puede
Sumar elmismo número a ambos lados de una ecuación.
Sustraer el mismo número de ambos lados de una ecuación.
También se pueden multiplicar o dividir ambos miembros por el mismo número diferente de cero. Recuérdese que
 
Dividir entre p es exactamente lo mismo que multiplicar por, si por [pic]y también que
Restar t es exactamente lo mismo que sumar   – t
En forma de ecuaciones, estos enunciados se...