ecuaciones y polinomios

TEORIA GENERAL DE ECUACIONES POLINOMICAS
Ecuación polinómica:
Es el resultado de igualar a cero un polinomio. Es decir, sea un polinomio cualquiera decimos que es una ecuación polinómica.

Solución de una ecuación:
Es un conjunto de valores que satisfacen a la ecuación. Los valores que satisfacen a la ecuación son los ceros del polinomio equivalente, los cuales se denominan raíces de laecuación.

Lema fundamental del álgebra
Toda ecuación polinómica de grado posee al menos una raíz real ó compleja.

Teorema fundamental del álgebra
Toda ecuación polinómica de grado posee y sólo raíces.

Axioma:
Si una ecuación polinómica real entera posee una raíz compleja, su conjugada también es raíz de la ecuación.
Si una ecuación polinómica racional entera posee una raízirracional, su conjugada también es raíz de la ecuación.

Ecuación degradada
Es la ecuación correspondiente al cociente que resulta de dividir la ecuación original entre una de sus raíces.

Raíces múltiple
Es aquella que es raíz de la ecuación original y de por lo menos una de sus ecuaciones degradadas.

Grado de multiplicidad de una raíz
Es el número de veces que un valor es raíz deuna ecuación.

Problemas fundamentales de la teoría general de ecuaciones
En el estudio de la teoría general de ecuaciones existen varios problemas fundamentales, entre los cuales tenemos:
1. Dadas las raíces de una ecuación y su coeficiente principal, hallar la ecuación.
2. Dada la ecuación y algunas condiciones iniciales de las raíces, hallar las demás raíces de la ecuación.
3. Dada lasraíces de la ecuación, hallar dicha ecuación mediante la relación entre las raíces y los coeficientes de la ecuación.
4. Transformar una ecuación en otra cuyas raíces mantienen una relación con las raíces de la ecuación original.
5. Hallar la naturaleza de las raíces de una ecuación.
6. Hallar los límites o intervalo de acotación de las raíces reales de una ecuación.
7. Hallar las raíces racionalesde una ecuación polinómica cualquiera.
8. Hallar raíces irracionales de una ecuación polinómica cualquiera.

PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 1
Para resolver en la teoría general de ecuaciones problemas donde se conocen las raíces y el coeficiente principal, se utiliza el teorema del factor representando a la ecuación mediante su descomposición factorial. Es decir: Sean el coeficiente principal ylas raíces de la ecuación ; decimos que la ecuación viene dada por:


Ej.: Hallar la ecuación cuyo coeficiente principal es 2 y sus raíces sean 2, 1 y -1.
Ej.: Hallar la ecuación cuyas raíces son 3, 1/2 y 2.
Ej.: Hallar la ecuación polinómica racional entero cuyas raíces son: 1,
Ej.: Hallar la ecuación polinomica racional entera cuyas raíces son
PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 2
Esteproblema de la teoría general de ecuaciones se resuelve verificando las condiciones iniciales dadas y si se cumplen, degradar la ecuación hasta una ecuación de segundo grado o inferior.
Ejercicios:
1.- Hallar las raíces de la ecuación .
2.- Hallar las raíces de la ecuación .
3.- Hallar las raíces de la ecuación , si -2 es una raíz múltiple.
4.- Hallar las raíces de la ecuación , sies una de sus raíces.
5.- Hallar las raíces de la ecuación , si y son raíces.

PROBLEMA FUNDAMENTAL No. 3
Este problema se resuelve utilizando las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación dada. Estas relaciones pueden de deducida como sigue:
Sea una ecuación cuyas raíces son , , , , .
Según el problema fundamental No. 1 tenemos que:



Multiplicando denuevo y agrupando los términos comunes, tenemos que:
Luego por igualdad de polinomio tenemos que:






Por lo tanto tenemos que:





Generalizando tenemos que:




.
.

Ejemplos:
1.- Usando la relación entre las raíces y los coeficientes, hallar la ecuación cuyas raíces son 1, 2 y -3.
2.- Hallar la ecuación real entera de menor grado cuyas raíces son 2 y ....