Ecuaciones

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Cap´ ıtulo 3

Ecuaciones Algebraicas
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ ıguez S.

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

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Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

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Cr´ditos e ´ Rosario Alvarez, 1984. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Mar´ Elena Abarca, Lisseth Angulo. o ıa y Walter Mora.Cristhian Pa´z, Alex Borb´n, Juan Jos´ Fallas, Jeffrey Chavarr´ e o e ıa Walter Mora. Walter Mora, Marieth Villalobos. escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´n impresa: o Edici´n LaTeX: o Colaboradores: Edici´n y composici´n final: o o Gr´ficos: a Comentarios y correcciones:

Contenido
3.1 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3.1.1 Ecuaciones lineales con una inc´gnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.1.2 Algunas “transformaciones” que se pueden usar para obtener ecuaciones equivalentes entre s´ ı Ecuaciones en las cuales uno de sus miembros es un producto de factores lineales y el otro miembro es cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . Ecuaci´n Cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a Ecuaciones en las cuales uno de sus miembros es un polinomio de grado mayor o igual que tres . Ecuaciones que involucran fracciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaci´n Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . o Aplicaci´n de las ecuaciones a la soluci´n de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 3.7.1 Problemas que implican proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Problemas que implican porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Problemas sobre mezclas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4 Problemas que implican la realizaci´n de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.7.5 Problemas que implican movimiento a velocidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.6 Problemas que involucran conceptos econ´micos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.7.7 Problemas diversos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 8 12 13 21 31 40 55 57 60 64 66 68 71 74

3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

3.1

Ecuaciones

Recordemos que en una expresi´n algebraica no constante, a las variables se les puede asignar valores reales o para obtener as´ el valor num´rico de la expresi´n dada: ı e o Ejemplo 1

1. En la expresi´n 3x2 bc a las variables x, b, c se les puedeasignar cualquier valor real, y el resultado siempre o es un n´mero real. u x2 + 4 a x le asignamos el valor de 2, es decir x = 2 entonces la expresi´n resultante no representa o x−2 un n´mero real. (Recuerde que si el denominador de una fracci´n es cero, entonces ´sta no representa u o e un n´mero real). Se puede demostrar que si se sustituye x por cualquier valor real diferente de 2, el uresultado es un n´mero real. u

2. Si en

√ u 3. En x − 3 se puede demostrar que si x se sustituye por cualquier n´mero real menor que 3 entonces la expresi´n resultante no representa un n´mero real (a modo de ejemplo probar con x = 0, x = 1). o u ( Recuerde que la ra´ cuadrada de un n´mero negativo no representa un n´mero real) ız u u

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Ecuaciones Algebraicas

Los casos (2) y (3)anteriores son ejemplos que ilustran el hecho que para algunas expresiones algebraicas no constantes, existen n´meros reales, que al ser sustituidos por las variables correspondientes en la expresi´n dada, u o hacen que el resultado obtenido no represente un n´mero real. u

Ejercicios 1

1. Para cada uno de los casos siguientes, escriba los n´meros reales que al ser sustituidos por la variable en...