Ecuaciones

Motivación

La utilidad de la formulación lagrangiana se aprecia incluso en ejemplos sencillos. Por ejemplo, considere una cuenta en un aro. Si se calculara el movimiento de la cuenta usando la mecánica newtoniana, se obtendría un sistema complicado de ecuaciones que considerarían las fuerzas que el aro ejerce en la cuenta en cada instante.
En cambio, en la aproximación de Lagrange, uno miratodos los movimientos posibles que la cuenta podría tomar en el aro y encuentra matemáticamente el que reduce al mínimo la acción. Hay muy pocas ecuaciones puesto que no se está calculando directamente la influencia del aro en la cuenta en un instante dado.
Otro ejemplo es el caso del estudio de movimientos referidos a un sistema que gira, como por ejemplo observaciones astronómicas vistas desdeel planeta Tierra: en la formulación newtoniana es necesario introducir a mano las fuerzas ficticias o fuerzas de inercia como la fuerza centrífuga o la fuerza de Coriolis mientras que en la formulación lagrangiana estas fuerzas aparecen de modo natural.
Los dos problemas considerados anteriormente son mucho más sencillos de resolver empleando la formulación lagrangiana.
[editar]Ecuaciones deLagrange

Las ecuaciones del movimiento en mecánica lagrangiana son las ecuaciones de Lagrange, también conocidas como las ecuaciones de Euler-Lagrange. Debajo, bosquejamos la derivación de la ecuación de Lagrange de las leyes de Newton del movimiento. Vea las referencias para derivaciones más detalladas y más generales. En su forma más general, en que se da un sistema de referencia general concoordenadas generalizadas () las ecuaciones de Lagrange toman la forma:

[editar]Derivación a partir de las leyes de Newton
Considere una sola partícula con masa m y el vector de posición r. La fuerza aplicada, F, si es una fuerza conservativa puede ser expresada como el gradiente de una función potencial escalar V(r, t):

tal fuerza es independiente de las terceras derivadas de r (o dederivadas de orden superior), por tanto la segunda ley de Newton forma un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Por lo tanto, el movimiento de la partícula se puede describir totalmente por 6 variables independientes, o grados de libertad. Un sistema obvio de variables es {rj, r′j|j = 1, 2, 3}, las componentes cartesianas de r y sus derivadas temporales, en un instante dadodel tiempo.
Más generalmente, podemos trabajar con un sistema de coordenadas generalizadas y de sus derivadas temporales, las velocidades generalizadas: {qj, q′j}. r está relacionado con las coordenadas generalizadas por cierta ecuación de transformación:

Considere un desplazamiento arbitrario δr de la partícula. El trabajo hecho por la fuerza aplicada F es δW = F · δr. que usa la segunda ley deNewton, escribimos:

puesto que el trabajo es una cantidad escalar física, debemos poder reescribir esta ecuación en términos de las coordenadas y de las velocidades generalizadas. En el lado izquierdo,

El lado derecho es más difícil, pero después de algunas maniobras obtenemos:

Donde es la energía cinética de la partícula. Nuestra ecuación para el trabajo hecho se convierte en

sinembargo, ésta debe ser verdad para cualquier conjunto de desplazamientos generalizados δqi, así que debemos tener

para cada coordenada generalizada δqi. Podemos simplificar aún más esto observando que V es una función solamente de r y t, y r es una función de las coordenadas generalizadas y t. Por lo tanto, V es independiente de las velocidades generalizadas:

Insertando esto en la ecuaciónprecedente y substituyendo L = T - V, obtenemos las ecuaciones de Lagrange:

Hay una ecuación de Lagrange para cada coordenada generalizada qi. Cuando qi = ri (es decir las coordenadas generalizadas son simplemente las coordenadas cartesianas), es inmediato comprobar que las ecuaciones de Lagrange se reducen a la segunda ley del Newton.
La derivación antedicha se puede generalizar a un sistema...