Ecuaciones

ECUACIONES

En esta sección y en la siguiente se supondrá la función f(x,y) depende linealmente de la variable dependiente y. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse de la formay'+pxy=g(x)
Integrante (o integración) de la ecuación. Por supuesto, para que este método sea eficaz debe ser posible calcular el factor integrante directamente a partir de laecuación diferencial. A continuación, se aborta esta cuestión en el contexto de la ecuación mas general.
El análisis anterior sugiere que una manera posible de resolver la ecuación linealgeneral de primer orden,
y'+pxy=gx,
Es multiplicar por un factor integrante adecuado y llevarla en consecuencia a una forma integrable. Para encontrar ese factor integrante primero semultiplica la ecuación por una función μ(x), que por el momento no está determinada. Entonces, se tiene
μxy'+μxpxy=μxg(x)
El objetivo es elegir μ(x) de modo que el primer miembro de laecuación sea derivada de alguna función. El termino μxy' sugiere que la función deseada podría ser el producto μxy. A fin de obtener la combinación μxy'=μ'xy+μxy' es necesario sumar y restarel termino μ'xy en el primer miembro de la ecuación; al hacerlo y agrupar los términos de manera conveniente, se obtiene
μ'xy+μxy'-μ'x-pxμ(x)y=μxg(x).
Ahora, si el segundo término delprimer miembro de la ecuación fuese cero, entonces esta ecuación tendrá la forma
μxy'=μxgx,
y el primer miembro (por lo menos) sería mas fácilmente integrable. A fin de lograr loanterior, debe elegirse μ de modo que
μ'x-pxμx=0.
Si, por el momento, se supone que μ es positiva, entonces la ecuación puede escribirse como
μ'(x)μ(x)=p(x),
o bien,
ddxlnμx=p(x).
Portanto,
lnμx=pxdx+k.
Al elegir la constante k como cero se obtiene la función mas simple posible para μ, a saber
μx=exp pxdx.
Observe que μ(x) es positiva para toda x, como se supuso.