Ecuaciones

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO

M. I. A.

MATRICES
Definición: Una matriz A, es un arreglo rectangular de elementos ordenados en m filas y n
columnas.
 a 11 a 12 L a 1n 
a

 21 a 22 L a 2 n 
A = a ij =
 M
M L M 


a m1 a m 2 L a mn 

[ ]

donde A es el nombre de la matriz, aij es el elemento en el renglón i y la columna j.
El orden o dimensión de una matriz estádado por el número de filas y columnas, es decir
una matriz de m filas y n columnas es de orden mxn
Si una matriz tiene sólo una fila se le denomina matriz fila o vector fila y si tiene una sola
columna se le denomina matriz columna o vector columna.
 a1 
a 
vector fila [a 1 a 2 K a n ]1xn
vector columna  2 
 M 
 
a m  mx1
Una matriz que tiene el mismo número
cuadrada.
12

7


de filas que de columnas se denomina matriz

3
1 − 3

4 − 2 3 x 3

2

Si el número de filas no es igual al número de columnas se la llama matriz rectangular.

− 1 2 
 0 − 3


4
7  3x 2


Diagonal principal.
En una matriz cuadrada, la diagonal principal es el conjunto de elemento aij tales que i = j.

 1 −2 4 
− 3 8
2


 6 − 5 − 1

La diagonal principal esta formada por los elementos 1, 8, -1
Matriz diagonal.
Matemáticas (propedeutico)

1

M. en C. José Luis Hernández González

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO

M. I. A.

Es una matriz cuadrada en que los elementos no diagonales son todos cero.

1 0 0 
0 8 0 


0 0 −1



Matriz identidad.
Es una matriz cuadrada cuyos elementos en ladiagonal principal son todos iguales a 1 y los
demás son cero.

1 0 0 
I = 0 1 0 


0 0 1 


Matriz nula.
Es aquella donde todos lo elementos son cero.

0 0 0 
0 0 0 


0 0 0 


Matriz triangular superior.
Es una matriz en que todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero.

1 − 2 4 
0 8
2


0 0 − 1


Matriz simétrica.
Esuna matriz cuadrada en que aij = aji, para todo i,j.

 1 −2 4 
− 2 8
2


4
2 − 1


Traza de una matriz.
Es la suma de los elementos de la diagonal principal Tr (A) = ∑ a ij

 1 −2 4 
B = − 2 8
2


 4
2 − 1


Tr (B) = 1 + 8 − 1 = 8

Matriz transpuesta.
En una matriz A, su transpuesta At o A’, es una matriz cuyas filas son la columnas de A.
Matemáticas(propedeutico)

2

M. en C. José Luis Hernández González

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M. I. A.

 2 7 − 3
A=

− 1 8 4  2 x 3

 2 − 1
A = 7
8


− 3 4  3x 2


t

Suma de matrices.
Sean A y B dos matrices del mismo tamaño. La suma de A y B, denotada por A + B, es la
matriz obtenida al suma los elementos correspondientes de A y B.

 a 11
a
 21
 M
a m1

a 12
a 22
M
a m2

L a 1n   b11
L a 2 n   b 21
+
L M   M
 
L a mn  b m1

b12
b 22
M
b m2

L b1n   a 11 + b11
L b 2 n   a 21 + b 21
=
L M  
M
 
L b mn  a m1 + b m1

a 12 + b12
a 22 + b 22
M
a m2 + b m2

L a 1n
L a 1n
L
L a mn

+ b1n 
+ b1n 


M

+ b mn 

Ejemplo:

1 − 3 3   1 − 1 0   2 − 4 3 
2 2 − 1 +2 6 − 3 = 4 8 − 4

 
 

4 8
0  3 1
5  7 9
5 

 
 

Multiplicación escalar.
El producto de un escalar k y una matriz A, denotado como kA o Ak, es la matriz obtenida
al multiplicar cada elemento de A por k.

 a 11
a
k  21
 M

a m1

a 12
a 22
M
a m2

L a 1n   ka 11
L a 2 n   ka 21
=
L M   M
 
L a mn  ka m1

ka 12
ka 22
M
kam 2

L ka 1n 
L ka 2 n 

L
M 

L ka mn 

Ejemplo:
 − 1 3 4  − 2 6 8 
2
=

 2 0 3  4 0 6 
También definimos que.
-A = (-1)A y A – B = A + (–B )

Matemáticas (propedeutico)

3

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M. I. A.

Multiplicación de matrices.
Sean A y B dos matrices tales que el número de columnas de A...