ecuaciones

Las ecuaciones de Maxwell
Un repaso de lo visto, algunas cosas faltantes y un camino abierto a
temas más complejos
Mucho del tiempo empleado hasta el momento ha sido dedicado al estudio de los campos
eléctricos y magnéticos de los que hemos aprendido las propiedades más importantes, las que
resumimos aquí para tenerlas en forma compacta.
La primera es conocida como la ley de Gauss referidaal campo eléctrico. Las cargas eléctricas
son las fuentes (sin son positivas) o sumideros del campo eléctrico (si son negativas). Las líneas
de campo eléctrico nacen en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. La
mencionada ley establece que si consideramos una superficie cerrada S entonces el flujo del
r
campo eléctrico E a través de dicha superficie es proporcional al totalde la carga eléctrica
encerrada (Qenc) en el volumen Vol limitado por la superficie S (usamos Vol para el volumen en
lugar de V porque esta última la reservamos para otra magnitud).
r r Q
1
E ⋅ dS = enc =
∫

ε0

S

ε0

∫

Vol

ρ dVol (1)

El factor ε0 (permitividad dieléctrica del vacío) refleja únicamente el sistema de unidades
empleado y no es relevante. El segundo miembrode la derecha (el que involucra la integral de
volumen) corresponde al caso más general de una distribución volumétrica de cargas ρ.
La (1) puede ser transformada por medio del teorema del flujo (o también llamado de Gaussr
Ostrogradsky) el que establece que el flujo de un campo vectorial F a través de una superficie
cerrada S iguala a la integral de la divergencia de dicho vector extendida alvolumen Vol limitado
por la superficie S.

r

r

∫ F ⋅ dS = ∫

Vol

r r
∇ ⋅ F dVol (2)

S

Comparando las expresiones (1) y (2) es fácil encontrar:

r r ρ
(3)
∇⋅E =

ε0

Las relaciones (1) y (3) contienen la misma cantidad de información respecto del fenómeno
físico. La primera está expresada en forma integral y en cierta forma (al menos en nuestro caso)
es más simple deutilizar. La segunda forma involucra derivadas parciales (a través del operador
divergencia) por lo que las técnicas matemáticas para su resolución son más complejas y
conviene postergarlas para Análisis III. Sin embargo enfatizamos que ambas contienen la misma
cantidad de información.

1

Al tratar con medios dieléctricos nos resultó conveniente introducir dos vectores extras. El
r
rdesplazamiento D y la polarización P , el primero está asociado con las así llamadas “cargas
libres” y el segundo con las de polarización. La relación entre todos ellos la sintetizamos como:
r
r r
D = ε 0 E + P (4)

Si el medio es lineal entonces también lo es la relación entre el campo eléctrico y la polarización
r
r
a través de la susceptibilidad dieléctrica Χe en la forma P = ε 0 Χ e Epor lo que la relación entre
desplazamiento y campo eléctrico deviene en:

r
r r
r
r
r
r
D = ε 0 E + P = ε 0 E + ε 0 ΧE = ε 0 (1 + Χ )E = ε 0 ε r E (5)
El campo eléctrico generado por una distribución estática de cargas tiene la particularidad de ser
conservativo, es decir que si consideramos una curva cerrada C entonces la circulación del campo
a lo largo de dicha curva es nula:
r rE ⋅ dl = 0 (6)
∫

C

Todo campo vectorial conservativo admite una función potencial escalar de la que deriva, en
nuestro caso elegimos el potencial electroestático V (cuidado: distingamos entre volumen Vol y
potencial V).
r
r
E = −∇V (7)

Combinando (3) y (7) obtenemos:

r v
ρ
− ∇ ⋅ (∇V ) =
= −∇ 2V (8)

ε0

La (8) recibe el nombre de ecuación de Poisson y es una ecuacióndiferencial a derivadas
parciales de segundo orden que permite calcular el potencial V en una región si se conoce la
distribución de cargas y/o el potencial en el contorno de la región a estudiar. No estamos en
condiciones de resolver esta ecuación salvo para un par de situaciones muy simples. Sin embargo
es interesante mencionar que es la ecuación que resuelven programas como QuickField por...