ecuaciones
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Publicado: 4 de junio de 2013
Ecuación
Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.
Ejemplos de ecuaciones:
36 + x = -12
X + 124 = 70 – 2
5x + 3y – 4 = 0
La expresión que está antes del signo igualrecibe el nombre de primer miembro, la expresión que está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro.
En una ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido.
Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x 1 = x), al número 2 (x 2), al número 3 (x 3), al número 4 (x 4), etc. El exponente indica el grado de la ecuación. (Debe leerse "equiselevado a uno, equis elevado a dos, etc.")
¿Cuándo está resuelta una ecuación?
Una ecuación está resuelta cuando se ha encontrado el valor o los valores de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz o solución.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que sepueden escribir de la siguiente forma:
ax + b = 0
Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.
Solución
La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es siempre un solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por simple inspección, por ejemplo,para la ecuación 7 - x = 4 es fácil deducir que la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobre todo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales.
La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como:
x = n
Donde n es la solución. Cuando la ecuación tiene esa formase dice que la variable está despejada.
Procedimiento para encontrar la solución
Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las propiedades de las operaciones inversas.
Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número, se multiplican por un número, se dividen entre un número,se elevan a la misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.
Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y se obtiene su raíz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece inalterado y la igualdad se mantiene.
Se busca que los términos que contienen a la variable pasen alprimer miembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen al segundo miembro.
Ejemplo:
2x + 3 = 21 - x.
El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =) porque contiene a la variable.
El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable. Esto se hace restando 3 a los dos miembros.
El término 21 se mantiene en el segundomiembro (a la derecha del =) porque no contiene a la variable.
El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable. Esto se hace sumando x a los dos miembros.
Se reducen términos semejantes
2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x
3x = 18
El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.(3x)/3 = (18)/3
x = 6
Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente cada miembro y se verifica la igualdad.
2(6) + 3 = 21 - (6)
12 + 3 = 15
15 = 15
Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente.
Ejemplos de Ecuaciones de Primer Grado
1. 2x – 3 = 6 + x...
Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.
Ejemplos de ecuaciones:
36 + x = -12
X + 124 = 70 – 2
5x + 3y – 4 = 0
La expresión que está antes del signo igualrecibe el nombre de primer miembro, la expresión que está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro.
En una ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido.
Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x 1 = x), al número 2 (x 2), al número 3 (x 3), al número 4 (x 4), etc. El exponente indica el grado de la ecuación. (Debe leerse "equiselevado a uno, equis elevado a dos, etc.")
¿Cuándo está resuelta una ecuación?
Una ecuación está resuelta cuando se ha encontrado el valor o los valores de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz o solución.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que sepueden escribir de la siguiente forma:
ax + b = 0
Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.
Solución
La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es siempre un solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por simple inspección, por ejemplo,para la ecuación 7 - x = 4 es fácil deducir que la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobre todo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales.
La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como:
x = n
Donde n es la solución. Cuando la ecuación tiene esa formase dice que la variable está despejada.
Procedimiento para encontrar la solución
Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las propiedades de las operaciones inversas.
Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número, se multiplican por un número, se dividen entre un número,se elevan a la misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.
Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y se obtiene su raíz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece inalterado y la igualdad se mantiene.
Se busca que los términos que contienen a la variable pasen alprimer miembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen al segundo miembro.
Ejemplo:
2x + 3 = 21 - x.
El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =) porque contiene a la variable.
El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable. Esto se hace restando 3 a los dos miembros.
El término 21 se mantiene en el segundomiembro (a la derecha del =) porque no contiene a la variable.
El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable. Esto se hace sumando x a los dos miembros.
Se reducen términos semejantes
2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x
3x = 18
El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.(3x)/3 = (18)/3
x = 6
Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente cada miembro y se verifica la igualdad.
2(6) + 3 = 21 - (6)
12 + 3 = 15
15 = 15
Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente.
Ejemplos de Ecuaciones de Primer Grado
1. 2x – 3 = 6 + x...
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