Ecuaciones

Ecuación
1 | | INTRODUCCIÓN |
Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.
Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.
Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a unconjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones. Por ejemplo:

3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una única solución: x = 4.
x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0sumándole 5.
2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.
2 | | TIPOS DEECUACIONES |
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones. Las ecuaciones con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas soluciones; por ello, estas ecuaciones interesa estudiarlas cuando forman sistemas de ecuaciones. Las ecuaciones con una incógnita pueden ser de distintos tipos: polinómicas, racionales, exponenciales, trigonométricas…Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x. O bien, son de tal forma que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. 3x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.
Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales. 5x + 7 = 3 es lineal y también lo es (x - 5)2 + 3 = x2 - 1 porque al desarrollar y simplificar se obtiene -10x +29 = 0.
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, (x – 2)2 + 7x =5 + x.
Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como
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Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por ejemplo:
|En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x + 4x + 1 - 18 = 0
En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica; por ejemplo: sen (p/4 + x) – cos x = 1
3 | | RESOLUCIÓN DE ECUACIONES |
Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía seamás sencilla. Así, mediante una serie de pasos sucesivos se llega a una última ecuación del tipo x = s en la que la incógnita está despejada (es decir, aislada en el primer miembro), con lo que la solución es evidente.
Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x – 6 = 3x + 12 se procede como se explica a continuación.
Para pasar los términos en x al primer miembro y los números al segundomiembro, se resta en ambos miembros 3x y se suma 6, con lo que queda: 5x – 3x = 12 + 6
Y simplificando,  2x = 18.
Para despejar la x se divide por 2 en ambos miembros: x = 18/2 = 9
La solución es, evidentemente, x = 9.
Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.
3.1 | | Resoluciónde ecuaciones cuadráticas |
La expresión general de una ecuación cuadrática (polinomio de segundo grado) es: ax2 + bx + c = 0
con a ≠ 0. Para resolverla se aplica la fórmula:
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Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x – 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = -3, se resuelve así:
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Hay dos soluciones: x1 = 1/2; x2 = -3.
Esta misma ecuación se podría haber resuelto despejando la x....