Ecuaciones

Resúmenes de Matemáticas para la E.S.O.

I.E.S. “Ramón Giraldo”

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO ECUACIONES
1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se llaman igualdades, y ponen de manifiesto la equivalencia entre distintos conceptos, descubriendo con ellas aspectos nuevos de una misma realidad. Las igualdades en lasque en sus miembros aparecen expresiones algebraicas que sólo se satisfacen para un conjunto de valores reales se llaman ecuaciones.

2.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son ecuaciones de la forma

ax  b  0

(también llamadas lineales), donde x es la variable o incógnita y a, b   con a  0. Método general de resolución 1.- Quitar los paréntesis. Para ello se aplica lapropiedad distributiva (es decir, el número o expresión algebraica que está fuera del paréntesis, multiplica a todos los sumandos que hay dentro del paréntesis) 2.- Eliminar los denominadores. Para ello se reducen todas las fracciones a común denominador (calculando el m.c.m.), y una vez que todas las fracciones tienen igual denominador, se quita éste, teniendo cuidado con los signos que hay delante delas fracciones. Es posible que haya que volver a quitar paréntesis. Para ello se aplica la propiedad distributiva como antes. 3.- Agrupar. Llevamos a uno de los dos miembros todos los términos que tienen “ x ” y al otro todos los números (cuando un término cambia de miembro, también cambia de signo). 4.- Operar. Realizamos las operaciones. 5.- Despejar. El coeficiente de “ x ” pasa dividiendo(con el signo que tenga) al otro miembro de la ecuación. Ejemplo: 1 3  x  1 2x  3   3 6    3 x    3 x  2 16   4 4 8  8 Quitamos los paréntesis: 6 x  1 6 2x  3 3 3 3 3 3x 3 2   x   4 4 8 8 8 16

Conviene realizar directamente.

las

operaciones

Cipri

Departamento de Matemáticas

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6x  6 12x 18 9x 3 9x6      8 16 4 4 8 8
Eliminamos los denominadores (calculando el mcm): 26x  6 12x 18 4 9x 4 3 2 9x 2 6      16 16 16 16 16 16
2 6x  6  12x 18  36x 12 18x 12

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Igual que antes conviene realizar las operaciones directamente, para que no se alarguen los pasos innecesariamente.

12x 12 12x 18  36x 12 18x 12
Agrupamos los términos quesean semejantes: 12x 12x  36x 18x  12 12 12 18 Realizamos las operaciones: 18x  30 Resolvemos: 30 x 18 Simplificamos: 5 x 3

Le he puesto paréntesis al numerador 12x 18 para que no haya problemas con el signo menos que hay delante.

El 18 pasa dividiendo, con su signo.

3.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Son ecuaciones de la forma ax 2  bx  c  0

(tambiénllamadas cuadráticas), donde x es la incógnita y a, b, c   con a  0. Recuerda que cualquier ecuación de segundo grado (completa o incompleta) se puede transformar en una ecuación de la forma ax 2  bx  c  0 [1], cuyas soluciones vienen dadas por la fórmula de Bhaskara:
x  b  b 2  4ac 2a

Método general para resolver ecuaciones de 2º grado: 1º) Si la ecuación tiene denominadores oparéntesis, se procede como siempre (se quitan los paréntesis y después los denominadores) 2º) Agrupar todos los términos en uno de los dos miembros, de forma que la ecuación quede igualada a cero. 3º) Operar los términos que sean semejantes (los que tienen la misma parte literal), de forma que la ecuación se transforme en una de la forma [1]. 4º) Obtener los coeficientes a, b y c . 5º) Aplicar lafórmula de Bhaskara.

Llamamos discriminante de la ecuación [1] a   b2  4ac y nos indica la naturaleza de las soluciones de una ecuación de segundo grado: Si   0 , entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Matemáticas 4º E.S.O. – Opción B

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Si   0 , entonces la ecuación tiene una raíz doble...