Ecuaciones

C A PÍTU LO

3
Aplicaciones de primer orden












3.4 Ley de Enfriamiento de Newton

Si un cuerpo u objeto que tiene una temperatura T0 es depositado en un medio ambiente que se mantiene a una temperatura Ta constante, con Ta ¤ T0 , la experiencia nos dice que, al paso del tiempo, la temperatura del cuerpo tiende aser igual a la del medio circundante. Es decir, si T .t / es la temperatura del cuerpo en el tiempo t , entonces T .t / ! Ta cuando t crece. Es posible representar esto en un diagrama como sigue:


En t D 0
En t > 0
En t D periodo largo


T0 T .t /
T .t / Ta



Ta Ta Ta



Para modelar la temperatura del objeto utilizamos la ley de Enfriamientode Newton; ésta afirma que la rapidez de cambio de la temperatura de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de tempera- turas entre el cuerpo y el medio circundante. Esto es,

T 0.t / D kŒT .t / Ta ?I

donde k es la constante de proporcionalidad. Notemos aquí dos situaciones:
1. Cuando T0 > Ta , y por lo mismo T .t / > Ta , en el cuerpoocurre un enfriamiento y se tiene que T .t /
d d
decrece y que T .t / Ta > 0, es decir, d t T .t / < 0 y T .t / Ta > 0, por lo que d t T .t / D kŒT .t / Ta ? )
k < 0.
[pic]1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

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2. Cuando T0 < Ta , y por lo mismo T .t / < Ta , en el cuerpo ocurre un calentamiento y se tiene que T .t /
crece y que T .t / Ta < 0, es decir,
k < 0.
d
T .t / > 0 y T .t / Ta < 0, por lo que
d t

d
d
T .t / D kŒT .t / Ta ?)
d t
Concretando: sea enfriamiento o calentamiento, la ecuación diferencial
siempre y cuando k sea negativa (k < 0).
T .t / D kŒT .t / Ta ? tiene sentidod t
Tenemos entonces que la temperatura T .t / del cuerpo en el instante t 0 está determinada por el PVI:

T 0 .t / D kŒT .t / Ta ?; con la condición inicial T .0/ D T0 :

Resolvemos la ecuación diferencial, que es claramente de variables separables:


d T
T Ta
) Z d T
T Ta
D kd t )
D k Z d t )

T > Ta ) T Ta > 0 )
) jT Ta j D T Ta :
) ln j T Ta j D k t C C1 )
) j T Ta j D ek t CC1 D ek t eC1 D C ek t )
) j T Ta j D C ek t )
) T Ta D C ek t )
) T .t / D Ta C C ek t
Obtenemos lo mismo si:
T < Ta ) T Ta < 0 )
) j T Ta j D C ek t )
) .T Ta / D C ek t )
) T Ta D C ek t ) T Ta D C ek t :


quees la temperatura del cuerpo en el instante t 0.
Para tener bien determinada la temperatura T .t /, son necesarias dos condiciones adicionales que permitan
calcular valores únicos para las constantes C y k. Estas condiciones podrían ser las temperaturas del cuerpo
en dos instantes cualesquiera y una de ellas podría ser la temperatura inicial T0 .


Ejemplo 3.4.1 Un cuerpo que tieneuna temperatura de 70 ı F es depositado (en el tiempo t D 0) en un lugar donde la temperatura se mantiene a 40 ı F. Después de 3 min, la temperatura del cuerpo ha disminuido a 60 ı F.
1. ¿Cúal es la temperatura del cuerpo después de 5 min?
2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50 ı F?

H Si T .t / es la temperatura del cuerpo en ı F después de t minutos, entonces la...