Ecuaciones

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias En Circuitos Eléctricos No Lineales
Tesis que presenta Juan Domingo Pérez López Para la obtención del grado De Maestro en Ciencias: Matemáticas Mayo del 2007.

Asesor: Dr. México D. F.

´ Indice general
0.1. Circuitos no lineales en general y sus gr´ficas . . . . . . . . . . . a 0.1.1. Gr´ficas asociadas a un circuito . . . . . . . . . . . . . . . a 0.1.2.An´lisis de los circuitos por ramas y nodos . . . . . . . . a 0.1.3. Las ecuaciones diferenciales de las redes no lineales . . . . 0.1.4. Espacios simpl´cticos y reciprocidad en circuitos . . . . . e 0.2. Resultados para redes lineales y conclusiones . . . . . . . . . . . 0.2.1. Transformaci´n de fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 0.2.2. Topolog´ de las Redes Lineales en el EstadoEstacionario ıa 0.2.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 10 21 34 34 37 42

A. Elementos en Circuitos El´ctricos. e 43 A.1. Definici´n y caracter´ o ısticas de los principales elementos el´ctricos e lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 A.2. Resistor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 A.3.Capacitor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 A.4. La bobina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 A.5. Generador o Fuente de Voltaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 A.6. Generador de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 A.7. An´lisis y comparaci´n de elementos lineales y no lineales. . . . 47 a o B. ConceptosMatem´ticos B´sicos. a a 51 B.1. Funcional Lineal y Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 B.1.1. Espacio Simpl´ctico y Forma Bilineal . . . . . . . . . . . . 53 e B.2. Homolog´ y Cohomolog´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ıa ıa

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´ INDICE GENERAL

Resumen
En este trabajo se trata de hacer un estudio de las ecuaciones diferenciales que aparecen en conexi´ncon los circuitos el´ctricos. o e Para iniciar podemos decir que, la forma de conectar los elementos de un circuito implica la existencia de mapeos lineales que se relacionan de forma muy natural a los espacios vectoriales asociados. Los espacios vectoriales (cadenas) representan las corrientes y los espacios vectoriales duales (cocadenas) representan voltajes. As´ ımismo la suma directa de unespacio vectorial con su dual tiene una estructura simpl´ctica natural, donde las condiciones de reciprocidad e tienen mucha importancia. La reciprocidad aparece aqu´ cuando las caracter´ ı ısticas del circuito definen ciertas subvariedades de los espacios simpl´cticos, que son generadas por e funciones escalares; Siempre hay una reciprocidad lineal debido a las leyes de interconexi´n de Kirchhoff quedefinen subespacios lineales. Una clase amplia o de circuitos no lineales llamados rec´ ıprocos presenta tambi´n reciprocidad. e En este trabajo tratamos de demostrar tres resultados de Ekmann, adem´s a de que hasta donde tenemos informaci´n se demuestran por primera vez, eno contramos que en los circuitos lineales las demostraciones se volvieron sencillas usando matrices, sin necesidad de usar laherramienta simpl´ctica. En el caso de e los circuitos no lineales vislumbramos que el asunto corre por el lado de la posible invertibilidad de las caracter´ ısticas de los elementos el´ctricos que forman e al circuito. Estas propuestas o resultados de Ekmann nos parecieron importantes porque constituyen un intento para obtener ecuaciones diferenciales expl´ ıcitas en un circuito no lineal. Estascondiciones se dan cuando suponemos que las capacitancias e inductancias son siempre funciones positivas; lo cual implica que las relaciones constitutivas de las cuales las anteriores son sus derivadas, son invertibles. Adem´s podemos usar indistintamente control por voltaje o por carga para a los capacitores, y por corriente o por flujo para los inductores. En este trabajo tambi´n usamos la...