Ecuaciones

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA DADAS 3 CONDICIONES
Sabemos que la ecuación que buscamos tiene la forma de la ecuación general de la circunferencia:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ..... I

Como lostres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos:
Para el punto A(5,7):         25 + 49 + 5D + 7E + F = 0
Para el punto B(-3,5):        9 + 25 – 3D + 5E + F = 0
Para elpunto C(5,-3):        25 + 9 + 5D – 3E + F = 0

Es decir:
74 + 5D + 7E + F = 0         …… II
34 – 3D + 5E + F = 0          …… III
34 + 5D – 3E + F = 0          …… IV

Dado que hay valores que serepiten, trabajaremos primero con las ecuaciones III y IV.

Primero multiplicamos la ecuación III por (-1) y luego la sumamos a la ecuación IV
– 34 + 3D – 5E – F = 0
34  + 5D – 3E + F = 0 
0  +8D – 8E + 0 = 0

Por lo tanto:
D = E           …… V

Ahora utilizamos las ecuaciones II y III, reemplazando D por E:
74 + 5E + 7E + F = 0
34 – 3E + 5E + F = 0

Reduciendo términos semejantestenemos:
74 + 12E + F = 0
34 +  2E + F = 0

Multiplicando la última ecuación por (–1) y sumando ambas ecuaciones:
 74 + 12E + F = 0
– 34 – 2E – F = 0
40 + 10E + 0 = 0

Despejando:
E = – 4Reemplazando en V:
D = – 4

Reemplazando valores en II:
74 + (5)(–4) + (7)(–4) + F = 0
74 – 20 – 28 + F = 0
26 + F = 0


F = – 26

Reemplazando valores en I tendremos la ecuación buscada:x2 + y2 – 4x – 4y – 26 = 0

El grafico de esta círcunferencia es el siguiente:



Que tres puntos de un plano pertenezcan a una misma circunferencia no solo no es nada extraordinario, sino quees algo absolutamente obligado; de hecho tres puntos son los que definen una circunferencia. Dicho de otra manera: dados tres puntos no alineados, existe una y solo una circunferencia que pasa por lostres.
 
Cuando se dispone de tres puntos A, B y C que no estén alineados, la mediatriz de AB y la Mediatriz de BC se cortarán en un punto, ese punto es el centro de la circunferencia que pasa por...