Ecuaciones

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2




5.1. Introduccin


Una ecuacin diferencial de segundo orden es una expresin matemtica en la que se relaciona una funcin|
con susderivadas primera y segunda. Es decir, una expresin del tipo (||)|
La ecuacin anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos:|(|)|


5.2. Reduccin de orden


Este mtodo|consiste enreducir el problema de resolver una ecuacin diferencial de segundo orden|a|
un problema de resolver una o ms ecuaciones diferenciales|de primer orden. Casos|a considerar||
5.2.1. Ecuaciones queno contienen la variable y. Sea|la ecuacin (|)=0. Haciendo|,|
se deduce|. Por tanto la ecuacin diferencial dada se transforma en la|ecuacin diferencial de|
primer orden|||||


f?x,p,p'? ? 0


Resolviendo esta ecuacin se obtiene p, de donde finalmente, se tiene

y ? ?p?x?dx ? y ? ?x,C1 ,C2 ?
5.2.2. Ecuaciones que no contiene|la variable x. Sea|la ecuacin (|)=0.Haciendo|,||
se tiene|||||||||||
||y?? ?|dy?|?|dp dy|?p|dp||||
|||dx||dy dx||dy||||
|||||||||||
La ecuacin dada|se transforma en||||||||||
|||?||dp ?||||||
|||f ? y,p,p ? ? 0|||||||?||?||||||
|||?||dy ?||||||
Resolviendo esta|ecuacin se obtiene|p, de donde|posteriormente se obtiene||||
|||||1||||||


y ? ?x,C1 ,C2 ?




5.3. Ecuaciones diferencialeslineales de segundo orden


La ecuacin lineal general de segundo orden puede escribirse en la forma estndar


y???P?x?y??Q?x?y? R?x?


En la cual P(x) , Q(x) , R(x) son funcionesconocidas


Teorema 1.De existencia y unicidad para el problema del valor inicial Sean P, Q, R funciones

continuas en un intervalo I y sea x 0 ? I . Sean y0 , y?0 dos nmeros realescualesquiera. El problema del

valor inicial


y???P?x?y??Q?x?y? R?x? , y?x 0 ? ? y0 , y??x 0 ? ? y?0


tiene solucin nica definida en I


5.4. Ecuaciones diferenciales...