ecuaciones

Universidad Nacional de Córdoba
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas, y Naturales
Departamento de Estructuras

Cátedra de

Mecánica de las Estructuras II

Ejercicios sobre Relaciones
Constitutivas – Criterios de Fluencia

Federico Pinto
2009

Mecánica de las Estructuras II
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia

07/05/2009

Ejercicio No. 8
Una probeta de unmaterial elástico se encuentra confinada lateralmente y sometida a un
incremento de tensión vertical, ∆σv. Determinar el incremento de tensión en dirección
horizontal.
∆σv

x2
x3

x1

∆σv
Figura 1. Ejercicio 8
Solución:
Dado que existe restricción lateral, ε11, ε33 = 0. Considerando la ecuación constitutiva
correspondiente a σ22:

E 
ν

ε 22 + 1 − 2ν ( ε11 + ε 22 + ε 33 ) 
1 +ν 
E (1 −ν )
=
ε
(1 +ν )(1 − 2ν ) 22

∆σ v = σ 22 =
∆σ v = σ 22

Escribiendo las ecuaciones constitutivas para σ11, σ33:

E
1 +ν
E
∆σ h = σ 33 =
1 +ν
∆σ h = σ 33 =

ν


ε 33 + 1 − 2ν ( ε11 + ε 22 + ε 33 ) 


ν

1 − 2ν

ε 22

Reemplazando ε22 en función de ∆σv:
∆σ h =

ν (1 +ν )(1 − 2ν )
E
∆σ v
1 +ν 1 − 2ν
E (1 −ν )

Simplificando:

∆σ h =

ν
1 −ν∆σ v

De esta manera, el incremento de tensiones horizontales para un material elástico
restringido lateralmente, es proporcional al incremento de tensiones verticales, siendo el
factor de proporcionalidad una función del módulo de Poisson del material.
1/11

Mecánica de las Estructuras II
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia

07/05/2009

Un caso frecuente en la prácticaingenieril relevante a este ejercicio es el de los
depósitos de suelos de gran extensión, los cuales suelen ser considerados confinados
lateralmente. La mecánica de suelos tradicional considera que las tensiones verticales y
horizontales en reposos son proporcionales, siendo el factor de proporcionalidad, K0.

σ h 0 = K 0σ v 0
Sin embargo, el factor K0 es, para el caso de suelos granulares,una función del ángulo
de fricción, ya que las tensiones se originan durante la formación del depósito de suelos,
mediante procesos generalmente inelásticos. Sin embargo, para el rango de descarga
(ejemplo, suelos sobreconsolidados por descarga), se puede considerar la relación
elástica para obtener las tensiones en la masa de suelo como:

σ h = K 0σ v 0 −

ν
1 −ν

∆σ v

Oconsiderando la relación de sobreconsilidación de suelos, OCR:
OCR =

σ v0
σv



σ v = σ v 0 − ∆σ v

σ h = σ v  K 0OCR −

ν
1 −ν

( OCR − 1) 



Dado que K0 es generalmente mayor a ν/(1-ν), puede verse que la relación de tensiones
se ve incrementada con el valor de OCR, fenómeno que es reconocido por la mecánica
de suelos.
Ejercicio No. 9

Se tiene un perno de acero del tipoA325, de 1/2” de diámetro sometido a las fuerzas de
la Figura (ignorar posible flexión). Considerando una distribución uniforme de
tensiones, se pide:
a) Verificar la condición de fluencia mediante el criterio de Von Mises.
b) Verificar la condición de fluencia mediante el criterio de Tresca.
1.5 t
4.0 t

x1
x3

1.0 t

x2

Acero:
σy = 6500 kg/cm2
Figura 2. Ejercicio 9
Solución:2/11

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Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia

07/05/2009

Las tensiones existentes no nulas son:
N
A

σ 33 =

σ 13 =

T1
T
σ 23 = 2
A
A

donde

A = π ( 0.635cm ) = 1.267cm 2
2

de esta manera:

σ 33 =

4000kg
kg
=3157 2
2
1.267cm
cm

σ 13 =

1500kg
kg
= 1184 2
2
1.267cm
cm

σ 23 =

1000kg
kg
= 789 2
21.267cm
cm

a) En el caso de Von Mises, la condición de fluencia puede escribirse como:

(σ 11 − σ 22 )
2

2

(σ − σ 33 )
+ 22
2

2

(σ − σ 33 )
+ 11

2

2

2
2
2
+ 3 (σ 12 + σ 23 + σ 13 ) ≤ σ y

2
2
2

kg 
kg  
kg  
kg
kg

 3157 2  + 3  1184 2  +  789 2   = 4005 2 ≤ 6500 2
cm 
cm  
cm  
cm
cm





donde puede verse que el...