ecuaciones

Teoría de Ecuaciones
Tema del álgebra (en el campo de los números
complejos) que analiza las raíces de una ecuación
algebraica (polinómica) de cualquier grado.

a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n = 0⇒ xi ? i = 1,2, K, n

I. Operaciones, Ecuaciones y Funciones Algebraicas

Teoría Ecuaciones: Introducción
Reconsideración
Hasta ahora hemos estudiado las ecuaciones polinómicas para n=1 y
n=2,lineal y cuadrática cuyas raíces se obtienen algebraicamente a
través de las fórmulas del recuadro.
Grado

Ecuación

Raíces

1

ax + b = 0

x=−

2

ax 2 + bx + c = 0

x=

b
a− b ± b 2 − 4ac
2a

1

I. Operaciones, Ecuaciones y Funciones Algebraicas

Teoría Ecuaciones: Introducción
Profundización
Se pueden ampliar estos resultados para n=3 y n=4, estudiando losalgoritmos de Cardano y Ferrari para resolver algebraicamente las
ecuaciones cúbica y cuártica.
Grado

Ecuación

Algoritmo

3

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0

Cardano

4

ax 4 + bx 3 + cx 2 +dx + e = 0

Ferrari

I. Operaciones, Ecuaciones y Funciones Algebraicas

Teoría Ecuaciones: Introducción
Restricción
Aunque parece lógico sugerir que se pueden encontrar
algebraicamente lasraíces de ecuaciones de orden superior a 4.
Galois demostró que esto no es posible... (Álgebra superior )

Generalización
Sin embargo, se han elaborado un conjunto de teoremas y
procedimientosalgebraicos y numéricos para determinar, estimar y
analizar las raíces de una ecuación polinómica de orden superior, esto
es lo que estudiaremos a continuación...

2

I. Operaciones, Ecuaciones yFunciones Algebraicas

Ecuación: POLINÓMICA
a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n = 0

Definición de raíz
También denominada cero de una ecuación, la raíz corresponde a un
número complejo para el cual secumple la igualdad planteada en la
ecuación. Matemáticamente:

r es raíz de P ( x) ⇔ P (r ) = 0
EJEMPLO:

Sea P( x) = x 4 − 1 = ( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1)
r1 = −1 ∧ r2 = i son raíces de P...