Ecuaciones

ECUACIONES DIFERENCIALES

Unidad I.- Conceptos Fundamentales

Unidad II.- Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

Unidad III.- Sistema de Ecuaciones Diferenciales ordinarias lineales

Unidad IV.- Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables

ECUACIONES DIFERENCIALES DEL PRIMER ORDEN

Ecuaciones diferenciales: Es la ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una omás variables dependientes con respecto a una o más variables dependientes

Ejemplo: dy/dx=x+5 xy´+y=3 dz/dx=Z+X dx/dy

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a las 3 propiedades siguientes:

SEGÚN EL TIPO
Ecuación diferencial ordinaria: Es la ecuación que contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes conrespecto a una sola variable independiente.

dy/dx=5x-1 (d^2 y)/(dx^2 ) +2 dy/dx+ 6y=0
(x+y)dx-4ydy=0

Ecuación diferencial parcial: Es la ecuación que solo contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.
∂v/∂x=-∂v/∂x x ∂v/∂x+y ∂v/∂y=u
(∂^2 u)/(∂x^2 )=(∂^2 u)/(∂t^2 )-2 ∂u/∂t

2.- Clasificación según el orden: Es elorden de la más alta derivada en una ecuación diferencial ordinaria o parcial

(d^2 y)/(dx^2 )+5(dy/dx)+4y=x Segundo orden
(senx)y´´-(cosx)y´=2 Segundo orden
xy´+2y=1+x^2 Primer orden
x3y^((4) )-x^2 y´´+4xy´-3y=0 Cuarto orden

Una ecuación diferencial de orden (n) se suele representar mediante la notación f(x,y,y´…y^((n) )=0

3.- Clasificación según la linealidad o nolinealidad

Una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma
an(x) (d^((n) ) y)/(dx^((n) ) )+an-1(x) (d^((n-1) ) y)/(dx^((n+1) ) )+⋯+a,(x) dy/dx+a°(x)=g(x) la cual tiene las siguientes propiedades.

La variable dependiente junto con todas sus derivadas sobre el primer grado, esto es la potencia de cada termino en y es 1.

Cada coeficiente depende de la variable independiente x.xdy+ydx=0 Ecuación dif. ordinaria de 1er orden lineal
dy/dx=x-y^(1/2) Ecuación dif. ordinaria de 1er orden no lineal
y´´-2y´+y=0 Ecuación dif. ordinaria de 2do orden lineal
(d^3 y)/(dx^3 )+y^2=0 Ecuación dif. ordinaria de 3er orden no lineal
dy/dx=√(1+((d^2 y)/(dx^2 )) ) Ecuación dif. ordinaria de 2do orden no lineal
x^3 (d^3 y)/(dx^3 )-x^2 (d^2y)/(dx^2 )+3x dy/dx+5y=e^x Ecuación dif. Ord. de 3er Ord. lineal
(d^2 y)/(dx^2 )+seny=0 Ecuación dif. ordinaria de 2do orden no lineal

En otras palabras una solución de la ecuación diferencial de la forma. F(x,y,y´…y). Es una función F con al menos n derivadas de y F(x, f(x), F´(x)… f^n (x))=0 para toda x en el intervalo se dice que y=f(x) satisface entonces la ecuación diferencial.Verifique que la función indicada es una solución en la ecuación diferencial dada; donde sea apropiado c1 y c2 son constantes.

y´ + y= senx y=□(1/2) sen x-□(1/2) cosx+10e^(-x)
□(1/2) cos x + □(1/2) sen x-10e^x + □(1/2) sen x □(1/2) cos x +10e^x=sen x
sen x=sen x

Y´=25+y^2 y=5tg5x
25〖sec〗^2 5x=25+25〖tg〗^2 5x
25〖sec〗^2 5x=25(1+〖tg〗^2 5x) 〖sec〗^2 v=1+〖tg〗^2 v
25〖sec〗^25x=25〖sec〗^2 5x

y=2xy´+y〖(y´)〗^2 y^2=c1(x+1/4 c1)
y=√(c1(x+1/4 c1) )= [c1(x+1/4 c1) ]^□(1/2)
y´=1/2 [c1(x+1/4 c1) ]^□(1/2) . d/dx c1(x+1/4 c1)
c1 d/dx (x+1/4 c1)
y´1/2 [c1(x+1/4 c1) ]^(1/2).c
y´=c1/(∝√c1 (x+1/4 c1) )

√(c1(x+1/4 c1) )=2x . c1/√(2&c1(x+1/4 c1) )+√(c1(x+1/4 c1) ) . [c1/√(2&c1(x+1/4 c1) )]^2

√(c1(x+1/4 c1) )= . (2x c1)/√(2&c1(x+1/4 c1) )+√(c1(x+1/4 c1) )/1 .〖c1〗^2/4(c1(x+1/4 c1) )

√(c1(x+1/4 c1) )=xc1/√(c1(x+1/4 c1) )+(〖c1〗^2 √(c1(x+1/4 c1)))/4[c1(x+1/4 c1)]

√(c1(x+1/4 c1) )=xc1/√(c1(x+1/4 c1) )+ (〖c1〗^2 √(c1(x+1/4 c1)))/(4√(c1(x+1/4 c1)) √(c1(x+1/4 c1)))

√(c1(x+1/4 c1) )= xc1/√(c1(x+1/4 c1) )+ 〖c1〗^2/(4√(c1(x+1/4 c1)) )

√(c1(x+1/4 c1) )=1/√(c1(x+1/4 c1)) . ((xc1+〖c1〗^2/4)/1
√(c1(x+1/4 c1) )=((xc1+〖c1〗^2/4))/√(c1(x+1/4 c1))
c1(x+1/4...