Ecuaciones

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES ´ PRIMER ORDEN, NOCIONES BASICAS
´ E. SAEZ

Una Ecuaci´n Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es o simplemente una expresi´n de la forma o ∂z ∂z (1) E(x, y, z, , ) = 0 ∂x ∂y Ejemplos: ∂z ∂z a ∂x + b ∂y = 0 , a,b son constantes ∂z ∂z o x ∂x − ∂y = f (x, y) , f es una funci´n continua Pregunta: ¿ Cu´l es la idea de unasoluci´n de una E.D.P. ? a o Respuesta: Sea Ω ⊂ R2 un dominio y f : Ω → R con derivadas parciales continuas. o La funci´n f es una soluci´n de la E.D.P. (1) ssi se satisface la identidad o ∂f ∂f E(x, y, f (x, y), (x, y), (x, y)) ≡ 0 , en Ω ∂x ∂y Geom´tricamente la identidad anterior significa , que la gr´fica de f que es una e a superficie en R3 satisface la E.D.P. ¿ Como encontrar estas superficies ?.Para una E.D.P cualesquiera esta pregunta es muy complicada. Sin embargo en algunos casos muy particulares es posible dar respuesta a la pregunta. Definici´n : Sea Ω ⊂ R3 un domino . Una E.D.P. de Primer Orden de la forma o ∂z ∂z (2) P (x, y, z) + Q(x, y, z) = R(x, y, z) , P, Q, R ∈ C 1 (Ω) ∂x ∂y se llama E.D.P. Cuasilineal de Primer Orden, donde las funciones coeficientes P, Q no se anulansimultaneamentes en Ω. La ecuaci´n (2) se llama Cuasilineal pues en general las funciones coeficientes o P, Q, R no necesariamente son transformaciones lineales en la tercera coordenada.
Departamento de Matem´tica, UTFSM a e–mail: eduardo.saez@usm.cl.
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´ E. SAEZ

La ecuaci´n (2) bajo un punto de vista vectorial, se puede escribir equivalentemente o en t´rminos de la base can´nica {ˆ , k}del Espacio Vectorial R3 , como el Producto e o ı,ˆ ˆ Punto: ∂z ∂z ˆ (Pˆ + Qˆ + Rk) · ( ˆ + ˆ − k) = 0 ı  ı  ˆ ∂x ∂y Consideremos el campo de vectores F : Ω → R3 , tal que, (3) ˆ F (x, y, z) = P (x, y, z)ˆ + Q(x, y, z)ˆ + R(x, y, z)k. ı  Con el objeto de simplificar la escritura, equivalentemente el anterior campo de vectores se puede escribir simplemente F = (P, Q, R) en el entendido que el trioes un vector. Sea Ω un dominio en R3 , S una superficie en Ω que es la gr´fica de una funci´n a o diferenciable de dos variables f : D → R tal que z = f (x, y) con D un dominio en R2 . Entonces si se define E(x, y, z) = z − f (x, y) se tiene que S coincide con la gr´fica a del conjunto E −1 (0) = {(x, y, z) | z − f (x, y) = 0} La superficie S se puede entonces considerar como la superficie de nivel cerode la funci´n E. Si S es una superficie regular que es soluci´n de (2) y consideramos el o o ∂z ∂z gradiente ∇E = (− ∂x , − ∂y , 1) se tiene de inmediato la identidad F · ∇E ≡ 0 , en E −1 (0) Si se interpreta geom´tricamente la identidad anterior significa que la superficie e soluci´n S, tambi´n llamada Superficie Integral, es tangente al campo de vectores o e F (ver Fig. 1). ∇E E R F •0

Fig. 1Pregunta: ¿ Como encontrar superficies tangentes al campo de vectores F ?.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUA . . .

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Para responder la pregunta anterior recordemos la definici´n de ´rbita , o bien, o o trayectoria de un campo de vectores. Definici´n. Sea Ω un dominio en R3 y F : Ω → R3 un campo de vectores. Una curva o param´trica r : I → Ω donde I es un subintervalo de R es una ´rbita(trayectoria) e o del campo de vectores ssi se satisface la identidad (4) dr(t) ≡ F (r(t)) , en I dt

La definici´n anterior dice que una curva param´trica tal que el vector tangente a la o e curva coincide con el campo de vectores en cada punto, es una orbita (ver Fig. 2). ´
dr(t) dt

F
r(t)

(r

(t ))

Fig. 2

Fig. 3, Superficie de ´rbitas o

N´tese que si se tiene una superficie(ver Fig. 3) formada s´lo por ´rbitas del campo de o o o vectores entonces es inmediato que es una superficie tangente al campo de vectores y en consecuencia es una soluci´n de la E.D.P (2). El problema para encontrar o Superficies Integrales se reduce a conseguir ´rbitas del campo de vectores. o La identidad (3), se puede escribir equivalentemente en t´rmino de las componentes e de los vectores, de...