ecuaciones

:
y''+4y=3sen2x
Ecuación homogénea asociada:

y'' + 4y = 0;

en términos de polinomios diferenciales:

(D² + 4)•y = 0.

Solución general de la ecuación homogénea:y(x) = c_1•cos 2x + c_2•sen 2x

Polinomio anulador de 3•sen 2x:

D² + 4.

Aplicando a ambos lados de la ecuación original, se sigue que

(D² + 4)²•y = 0.

debemosentonces solucionar esta ecuación homogénea y determinar la solución particular al problema original de entre las soluciones de ésta. Las soluciones de esta homogénea son de la formay(x) = c_1•cos 2x + c_2•sen 2x + c_3•x•cos 2x + c_4•x•sen 2x.

Sabemos que las soluciones de la ecuación original pueden escribirse como suma de una de sus solucionesparticulares y todas las soluciones de su ecuación homogénea asociada. Por consiguiente podemos asumir que c_1 y c_2 son cero, ya que si no lo fueran, de todos modos se va a sumar la solucióngeneral de la homogénea y pueden considerarse al margen de la solución particular. Necesitamos determinar entonces c_3 y c_4. Si tomamos y como

y(x) = c_3•x•cos 2x + c_4•x•sen2x,

entonces se tiene

y'(x) = c_3•(-2x•sen 2x + cos 2x) + c_4•(2x•cos 2x + sen 2x)

y''(x) = c_3•(-4x•cos 2x - 4•sen 2x) + c_4•(-4x•sen 2x + 4•cos 2x)

y porconsiguiente,

y'' + 4y = c_3•(-4x•cos 2x - 4•sen 2x) + c_4•(-4x•sen 2x + 4•cos 2x) + 4•c_3•x•cos 2x + 4•c_4•x•sen 2x
= -4c_3•sen 2x + 4c_4•cos 2x

de manera que para obtener la soluciónparticular, igualamos la expresión obtenida con 3•sen 2x y deducimos los valores de c_3 y c_4:

-4c_3•sen 2x + 4c_4•cos 2x = 3•sen 2x

Esto implica que -4c_3 = 3, y 4c_4 = 0.Por lo tanto, c_3 = -3/4 y c_4 = 0. Una solución particular entonces es y(x) = -(3/4)•x•cos 2x, y la solución general es

y(x) = -(3/4)•x•cos 2x + c_1•cos 2x + c_2•sen 2x