Ecuaciones

Facultad de Ingeniería Curso: Ecuaciones Diferenciales

Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme

RESUMEN EDO’S 1.- ECUACIONES DIFERENCI ALES DE PRIMER ORDEN
1.1.- ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

Así: (a) (b)

f ( x, y)   M ( x, y)dx  g ( y)

f ( x, y)   N ( x, y)dx  h( y)

De no cumplirse la igualdad dada en (*), la ecuación no es exacta y se busca el factor integrantedy dy  g (t )dt  c  g (t )  h( y )   dt h( y ) 
1.1.1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
(a)

(a) Si

1 N

 M N    y  x   f ( x) entonces se tiene el   

factor integrante:

u ( x, y)  h( x)  e 
(b) Si

f ( x ) dx

dy  f (ax  by  c) dx dx dx

dy dz ab Hacemos z  ax  by  c 
Remplazando se obtiene:

 1  M N    g ( y ) entonces se tiene el  M  y x   

factor integrante:

dz  a  bf (z ) dx
(b)

*ecuación de variables separables

u( x, y)  h( y)  e 

f ( y ) dy

dy  y  f  dx x

1.3.- ECUACIONES LINEALES
Son de la forma:

dy x y y dz dx  Hacemos z   dx x x2
Remplazando se obtiene:

dy  a(t ) y  b(t ) dt

y (t )  e 
*ecuación de variables separables

a (t ) dt

dz f ( z )  z  dx x

 e  a (t ) dt  b(t )dt  c     

*Fórmula de Leibniz

1.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0
es exacta ssi:

1.4.- ECUACIONES QUE SE REDUCEN AL CASO LINEAL 1.4.1.- ECUACIÓN DE BERNOULLI

M N  y x

dy  p( x) y  f ( x) y n con n  1 dx
(*)
n Multiplicando la ecuación por y y luegohaciendo el 1 n cambio z  y se obtiene:

Luego, existe una función f tal que:

f ( x, y)  M ( x, y ) x

f ( x, y )  N ( x, y ) y

dz  (1  n) p( x)  z  (1  n) f ( x) *Ecuación Lineal dx

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Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme

1.4.2.- ECUACIÓN DE RICCATI

1.5.3.- LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
“La velocidad con quese enfría una sustancia en el aire es proporcional a la diferencia de la temperatura de la sustancia y el aire” Se tiene :

dy  p( x) y  q( x) y 2  f ( x) Se requiere de solución dx particular y1 ( x) . Así, hacemos el cambio de 1 coordenadas y ( x)  y1 ( x)  y obtenemos una z ( x)
ecuación lineal.

Ts (t ) : Temperatura de la sustancia en el instante t Tm :
Temperatura del medio(aire)constante Luego, la ecuación diferencial que modela el fenómeno es:

1.5.- APLICACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 1.5.1.- REACCIONES QUÍMICAS DE PRIMER ORDEN Y DESINTEGRACIÓN
Se tienen los siguientes parámetros y condiciones: x 0 : Cantidad inicial en gramos

dTs  k Ts (t )  Tm  dt  Ts (t )  Tm  Ts (0)  Tm e kt
1.5.3.- PROBLEMAS DE MEZCLAS

x(t ) : Número de gramos presentesen el instante t dx : Ritmo de crecimiento de x dt dx  : Ritmo de decrecimiento de x dt k : Constante de proporcionalidad
De esta forma, si k>0, la ecuación diferencial que describe el proceso químico es:



dx  kx  x(t )  x0 e  kt dt
x(t ) : Cantidad de soluto en el estanque en el tiempo t V e : Velocidad de entrada del fluido al estanque

Denominamos semivida al tiempo requeridopara que la sustancia reduzca su masa a la mitad, el cual está dado por:

V s : Velocidad de salida del fluido del estanque
T ln( 2) k

C e : Concentración de entrada del soluto al estanque C s : Concentración de salida del soluto del estanque

1.5.2.- CRECIMIENTO DE BACTERIAS

Vo : Volumen inicial de fluido en el estanque
x 0 : Cantidad inicial de soluto en el estanque

N (t ) :Cantidad de bacterias en el instante t
dN  nacimiento s  muertes  a(t ) N  b(t ) N dt

x' (t )  Ve  Ce  Vs  C s
Donde: C s 

 N (t )  N (0)e 

x(t ) v(t )

; v(t )  Vo  (Ve  Vs )  t

( a ( t ) b ( t )) dt

Con a(t ) y b(t ) proporción de nacimientos y muertes respectivamente

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