Ecuaciones

UNIVERSIDAD DE SONORA
Departamento de Matemáticas

LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

Roberto Gaona Avila

Hermosillo, Sonoro.

Diciemhre tic 1996.

AGRADEZCO AL M.C. JORGE SANDOVAL CHAVEZ QUE DURANTE EL CURSO DE OPTICA MATEMÁTICA ME HIZO VER EL POTENCIAL INEXPLORADO, AL MENOS EN SONORA, DE LA TRANSFORMADA DE FOURWR TEMA CENTRAL DE ESTE TRABAJO.

A MISPADRES POR EL APOYO BRINDADO

INDICE CAPITULO 1 LA SERIE DE FOURIER

FUNDAMENTOS DE LA SERIE DE FOURIER 1 1 ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL 1.2. LA SERIE DE FOURIER CONVERGENCIA A CERO DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER FORMULA INTEGRAL PARA LA SUMA PARCIAL DE LA SERIE CONVERGENCIA EN EL PUNTO DE CONTINUIDAD CONVERGENCIA UNIFORME TEOREMA DE WEIRSTRASS POR UNA APROXIMACION TRIGONOMETRICACOMPLETEZ DE LAS SERIES CONVERGENCIA A UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER 10. PASO DE LA SERIE A LA TRANSFORMADA DE FOURIER

1

1
3

5
8 10 11 12 14 15 16 17

CAPITULO 2 LA TRANSFORMADA DE FOURIER

PROPIEDADES ANALITICAS PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DEFINICION DE CONVOLUCION TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES DE VARIASVARIABLES 5. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 5.1. BASES MATEMATICAS 5.2. LA INTEGRAL DE KIRCHHOFF

20 26 28 32 36 36 36

5.3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE KIRCHHOFF A LA DEFRACCION DE FRAUNHOFER 37

TRANSFORMADA DE MELLIN

39

CAPITULO 3 APLICACIONES A ECUACIONES DIFERENCIALES

1. mETODO DE SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1.1 APLICACIONES

43 43APENDICE A ANTECEDENTES MATEMATICOS APEWICE B PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOUR1R APENDICE C DEMOSTRACION DEL TEOREMA 2 DEL CAPITULO 1


51
55 57

HIBLIOGRAFIA

60

CAPITULO 1 LA SERIE DE FOURIER

El propósito de este capitulo es mostrar que toda función periódica continua con periodo 2n puede ser representada como serie convergente en las funciones periódicas elementelessen(kx), cos(kx) con k natural: A dicha serie se le llama la Serie de Fourier de la función correspondiente. Se introduce también la representación compleja de la Serie de Fourier

1. FUNDAMENTOS DE LAS SERIES DE FOURIER.

1.1. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL.

DEFINICION 1. Sea V el espacio vectorial de las funciones integrables periódicas de periodo 2z en R (f: R-402 es periódica con periodo 2T sif(x + 2z) = f(x)). Ahora se define sobre VxV la siguiente aplicación:

F: VxV -4 R con

F = =

fg dx

TEOREMA

1. es producto interior.

a) SeanfygEV, entonces fg= gf y por lo tanto: Ifg dx= -t por lo que: gf dx

1

 = Sean f, g, h e V, entonces: f(g + h) = fg + fh, y por lo tanto
f

t
-T

f(g + h)dx = f fg dx +
-T -T

fh dx

por lo que: = +

SeancERyf,gEV,entonces: cf
f
E V

t
-r

cfg dx = c f fg dx

por lo que: = c Por lo tanto el operador es bilineal. d) Como =1 se tiene que =0 y =0 f=0 si f es continua por lo tanto, el operador es definido positivo. fof dx a 0

Esto permite afirmar que V es un espacio vectorial, el cuál resulta espacio de Hilbert (R), con el producto interior < >.

Tomando en cuenta que si f es de período 2t,entonces h(x) = f(
aff

x) es una función de período 2n, fijaremos el periodo de

las funciones a considerar como igual a 2n

2

1 TEOREMA 2. El conjunto { 1,4 sen mx,41 cos mx} para m e N, es un conjunto ortonormal con respecto al producto interno anterior. La demostración se encuentra en el apéndice C.

DEFINICION 2. La norma de un elemento f de H, se define como lifii = 1/2 1.2. LASERIE DE FOURIER.

DEFINICION 3. Si f de f como la serie

E

H entonces se define la Serie de Fourier

I(a cosnx + b sennx)
n=0

ao

=f

n f(x)dx ; a n

-n
u

=3 f vff

f(x)cos(nx)

(1)

-n

ff(x)sen(nx) -n

n = 1, 2, 3,...

Cada uno de los an y

bn

se lláman Coeficientes de Fourier de

la función f y nos mide la "proyección" de f a lo largo de la...