ecuaciones

Matemática I. Ciclo técnico profesional. ITSA Atlántico
Profesor: Blas Torres Suárez. Versión 2.0
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Unidad 3
ECUACIONES LINEALES O CUADRÁTICAS
Competencias a desarrollar:
· Identificar las características de una ecuación lineal o cuadrática.
· Hallar el conjunto solución de una ecuación lineal o cuadrática, de
diferentes formas.
· Interpretar y resolver problemas mediante ecuacioneslineales o
cuadráticas.
· Proponer situaciones problemáticas factibles de representar y resolver
mediante ecuaciones lineales o cuadráticas
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Unidad 3
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Ecuación lineal.
Una ecuación en la variable x es lineal si puede escribirse en la forma
ax + b = c, endonde a,b y c son números reales, con a ¹ 0.
La ecuación lineal, en una variable, también se denomina ecuación de primer
grado, ya que la potencia más alta en la variable es uno.
Si la variable en una ecuación se reemplaza por un número real que hace que
la proposición sea verdadera, entonces ese número es una solución de la
ecuación. Por ejemplo, 8 es la solución de la ecuación y - 3 = 5, ya queal
reemplazar y con 8 se obtiene una proposición verdadera.
Una ecuación se resuelve determinando su conjunto solución, el conjunto de
todas las soluciones. El conjunto solución de la ecuación y - 3 = 5 es {8}.
Ecuaciones equivalentes: son ecuaciones con el mismo conjunto solución.
Por lo general, para resolver las ecuaciones se inicia con una ecuación
determinada y se produce una serie deecuaciones equivalentes más sencillas.
Por ejemplo,
8x +1 = 17, 8x = 16 y x = 2
Todas son una ecuaciones equivalentes, ya que cada una tiene el mismo
conjunto solución,{2}.
Utilizamos las propiedades de suma y multiplicación de igualdades para
producir ecuaciones equivalentes.
Propiedades de la suma y la multiplicación de igualdades
Propiedades de la suma de igualdades
Para todos losnúmeros reales a,b y c, las ecuaciones
a = b y a + c = b + c son equivalentes.
O sea, si se suma (o se resta), el mismo número a ambos miembros de una
ecuación, el conjunto solución no cambia
Propiedad de la multiplicación de igualdades
Para todos los números reales a,b y c , donde c ¹ 0, las ecuaciones
a = b y ac = bc son equivalentes.
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O sea si se multiplican (o se dividen) ambos miembros de una ecuación por el
mismo número diferente de cero, el conjunto solución no cambia.
EJEMPLO Resuelva 4x - 2x - 5 = 4 + 6x + 3.
Primero, reduzca términos semejantes de manera separada en ambos lados de
la ecuación para obtener: 2x - 5 = 7 + 6x
Luego, utilice la propiedad de la suma paraobtener los términos con x en el
mismo lado de la ecuación y los demás términos (los números) en el otro lado.
Una manera de hacerlo consiste en sumar primero 5 a ambos miembros.
2x - 5 + 5 = 7 + 6x + 5
2x = 12 + 6x
Ahora reste 6x a ambos lados.
2x - 6x = 12 + 6x - 6x
- 4x = 12
Por último, divida ambos entre -4 para obtener sólo la x en el lado izquierdo.
4
12
4
4
-
=
-
- x
o sea x = -3Para estar seguro de que -3 es la solución, verifíquela sustituyendo en la
ecuación original (no en una intermedia).
4x -2x -5 = 4+6x +3 Ecuación dada.
4(- 3)- 2(- 3)- 5 = 4 + 6(-3) + 3 sea x = -3
-12 + 6 - 5 = 4 -18 + 3
-11 = -11 Verdadera
Como se obtiene una proposición verdadera, -3 es la solución. El conjunto
solución es {- 3}
EJEMPLO: Resuelva 2(k -5)+ 3k = k + 6.
Comience porutilizar la propiedad distributiva para simplificar y reducir
términos del lado izquierdo de la ecuación.
( )
2 10 3 6
2 5 3 6
- + = +
- + = +
k k k
k k k
Propiedad distributiva
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5k -10 = k + 6 Reduciendo términos semejantes.
5k -10 +10 = k + 6 +10 Sumando 10 a ambos miembros
5k = k...