ecuaciones

Ecuaciones de la Recta en el Plano Cartesiano

Jaime Bravo Febres

ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO
CARTESIANO
Teorema: “A toda recta L del plano cartesiano está asociada al menos una ecuación
de la forma: ax + by + c = 0, en donde a, b y c son números reales; a ≠ 0 ó b ≠ 0, y
(x, y) representa un punto genérico de L”
Sean Q(x1, y1) y R(x2, y2), dos puntos distintos del planocartesiano. Tomamos P(x, y)
un punto genérico de la recta L. Como P, Q y R son colineales entonces: “x “ y “y” son
variables, como vemos en la figura:
Y

L

y2
R
y

P

y1
Q
O

x1

x

x2

X
x

y

1

luego tenemos necesariamente: x 1

y1

1

x2

y2

1

=0

Desarrollando el determinante por la regla de Laplace, tenemos:
x⋅

y1 1
y2

1

−y⋅

x1

1

x2 1+ 1⋅

x1

y1

x2

y2

=0

(y 1 − y 2 ) ⋅ x + (x 2 − x 1 ) ⋅ y + (x 1y 2 − x 2 y 1 ) = 0
123
4 4
123
4 4
14243
4 4
a
b
C

haciendo: y1 − y 2 = a ; x1 − x 2 = b y x1y 2 − x 2 y 1 = c , de donde todo punto P de L debe
verificar la ecuación: ax + by + c = 0; llamada Ecuación General de L.
Consecuencias:
En la ecuación general de la recta L: ax + by + c = 0 tenemos que:1. a = 0 ⇔ y1 − y2 = 0 ⇔ y1 = y2 ⇔ L // X (recta L // al eje X).
2. b = 0 ⇔ x2 −x1 = 0 ⇔ x2 = x1 ⇔ L // Y (recta L // al eje Y)
3. c = 0 ⇔ ax + by = 0 ⇔ (0, 0) satisface la ecuación, pues:

a⋅0 + b⋅0 = 0 ⇔ (0, 0) ∈ L.
Esto es cuando la ecuación no tiene término independiente la recta pasa por el
origen.

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Jaime Bravo Febres

INTERSECCIÓN DEDOS RECTAS
Todo punto de intersección de dos rectas tiene que satisfacer las ecuaciones de
ambas rectas. Por tanto, obtenemos el punto común P(xo, yo) de las dos rectas
concurrentes resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones:

L 1:
L :
 2

a1 ⋅ x + b1 ⋅ y + c 1 = 0
a2 ⋅ x + b2 ⋅ y + c2 = 0

⇒ P = L1 ∩ L2

Ejemplo:
Obtener la intersección de las rectas:
L1 : x − y + 1 = 0L2 : 2x + y − 2 = 0
Resolviendo el sistema se obtiene: x = 1 3 ; y = 4 3
Luego la intersección de las rectas L1 y L2 es el punto: P = (x o , y o ) = (1 3 , 4 3)
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS:
Dadas dos rectas L1 y L2 cuyas ecuaciones son:

L : a x+b y = c
(Ψ) : L 1: a 1x + b1 y = c1
2
2
 2 2
ella pueden ocupar tres posiciones relativas en el plano cartesiano. Estas posicionesson definidas en base al número de “puntos comunes” de las rectas. Esto es:
L1 y L2 Son concurrentes

⇔ tienen un único punto común.

L1 y L2 Son paralelas distintas

⇔ no tienen ningún punto común.

L1 y L2 Son coincidentes

⇔ tienen infinitos puntos comunes.

Nota: Con el símbolo L1 1 L2 = P, indicaremos que L1 y L2 son concurrentes o
secantes; con L1 1 L2 = φ indicaremos que L1 yL2 son paralelas y distintas; con L1 = L2
indicaremos que L1 y L2 son coincidentes (o paralelas coincidentes).
Notemos que L1 // L2 significa L1 1 L2 = φ ó L1 = L2 .
Todo punto común a L1 y L2 es solución del sistema (Ψ). Resolviendo el sistema (Ψ)
por el método de adición se tiene:

 a1x + b1y = c1
a x+b y = c
2
2
 2
multiplicando por b2 la 1era Ecuación y (−b1) la 2da ecuación,tenemos:

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Jaime Bravo Febres

 a1b 2 x + b1b 2 y = c1b 2
− a b x − b b y = − c b
2 1
 2 1
1 2
(a1b 2 − a 2 b1)x = (c 1b 2 − c 2 b1 )

(1)

ahora, multiplicando por (-a2) la 1era ecuación y por a1 la segunda ecuación se tiene:

− a1a 2 x − b1a 2 y = − c1a 2
 a a x+a b y = a c
1 2
1 2
 1 2
(a1b 2 − a 2 b1 )x = (a1c 2 − a 2 c 1)

(2)

Haciendo:
a
a1b 2 − a 2 b1 = 1
a2
c
c 1b 2 − c 2 b1 = 1
c2
a
a1c 2 − a 2 c 1 = 1
a2

b1
b2
b1
b2
c1
c2

=D

=D

1

=D

2

Luego el sistema (Ψ) queda reducido a:
D ⋅ x = D1
(Ψ) : 
D ⋅ y = D 2

(3)
(4)

.

De cuya discusión son posibles tres casos:
1er caso:
D ≠ 0 ⇔ (Ψ) tiene una única solución ⇔ L1 y L2 son concurrentes.
2do caso:



D...