Ecuaciones

Funciones y relaciones
PRODUCTO DE CONJUNTOS
Es importar recordar algunas operaciones ya definidas con conjuntos, como la unión, intersección,
etc, para el tema que se inicia es importante recordar el producto de conjuntos. Como en muchos
casos no se ha estudiado con anterioridad, es que se procede a la definición del producto de
conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos no vacíos. El producto, oel producto cartesiano de A y B, denotado por
A  B, es el conjunto de todos los pares ordenados a, b, tal que a  A y b  B. Simbólicamente se
puede expresar como
AB 

a, b : a  A y b  B

EJERCICIO 5.1
Si A1, 2, 3 y Ba, b y Cx, y, z, entonces
A  B _______________________________________________________________________
B  A_______________________________________________________________________
A  A _______________________________________________________________________
Cuántos elementos tiene A  B  C, lo que quiere decir
nA  B  C? _________________________
5. Escriba 5 elementos del conjunto A  B  C ______________________________________
6. Que significa IR  IR  ___________________________________

1.
2.
3.
4.

La notación nAnúmero de elementos de A, para el caso del ejercicio anterior nA  3, y
nB  2
En general para determinar el número de elementos de A x B , se tiene que nA  B  nA  nB
En el caso del ejercicio anterior se tiene nA  B  nA  nB  3  2  6 .
Una forma de expresar una relación entre los elementos de un conjunto A, y un conjunto B, es
utilizando pares ordenados, donde el primerelemento pertenece al conjunto A y el segundo al
conjunto B, y además R es la regla que asigna a cada elemento de A un elemento de B.
El conjunto A recibe el nombre de dominio, el conjunto B el de codominio.
RELACIONES
Las relaciones pueden tener representación gráfica, en ejes coordenados como por ejemplo
R: x 2 " y 2  25, para representar en un gráfico las relaciones se completa un cuadro comoel
siguiente

1

Complete el cuadro
x -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

y
Represente la relación anterior en el siguiente sistema de ejes cartesiano

2
1
-2

-1

0

1

2

-1
-2

EJERCICIO 5.2
1. Represente en ejes cartesianos como los anteriores todos los puntos que cumplen la siguiente
2
y2
1
igualdad x "
6
4
2. Determine la forma que tiene el gráficoanterior, puede afirmar que es una relación y por qué?
3. Efectúe el gráfico de un círculo con centro en 2, 1 y con radio 3

FUNCIONES
Una función es una relación en la que se establece una condición, a saber, que cada elemento tiene
asociado una única imagen. En el gráfico anterior se muestra que el 0, tiene dos imágenes, 5 y el
-5, por lo tanto es una relación, no es función.Definición
Una función es una regla, que asigna a cada elemento del dominio ( primer conjunto) exactamente
un elemento del codominio (segundo conjunto). Simbólicamente se puede expresar lo anterior como
f:A#B
x#y
equivalente
x # fx o bien y  fx o x, y

2

Al conjunto a cuyos elementos se les aplica la regla se llama dominio. El conjunto de los resultados
de aplicar la regla se llamarango, que es un subconjunto del codominio. Sea x un elemento del
domino, también se le llama preimágen, y al elemento de salida, que se le llama imagen.
Cuando una función está dada por una fórmula, en términos de la variable x , se asume, si no se
indica otra cosa, que el dominio es IR
o bien el mayor subconjunto de IR en el cual la fórmula tiene sentido y el codominio es IR.
La definiciónanterior establece dos condiciones importantes
La imagen única
Todos los elementos de dominio deben contar con una imagen.

EJERCICIO 5.3
1. Determine el número de elementos que contienen los siguientes conjuntos
a. nA  B  ________ si A2, 4, 6, 8, 10 B x/x  Z y  3  x  4
b. nC  D  ________ si C x/x  IN, x es múltiplo de 3 menor que 15
Dx/x  IN, x es múltiplo de 5 menor...