Ecuaciones

ECUACIONES Una ecuación en una variable es un enunciado de igualdad de expresiones en la variable. Ejemplo 1.- Los siguientes son ejemplos de ecuaciones a) 2 x = 10 b) t 2 = −2t + 3 c) 1 − 2r + 1 = 0 5x − 1 1 + =0 d) x −1 x e) x( x + 1) − x + 1 = 0 Estos son ejemplos de ecuaciones en una variable. En los ejemplos a, d y e la variable es x. En b la variable es t y en c la variable es r. a es unasolución o raíz de una ecuación si es un valor de x que hace que la ecuación sea una proposición verdadera. 5 es una raíz o una solución de la ecuación del ejemplo a, por cierto es la única solución. 1 y -3 son raíces de la segunda ecuación. Resolver una ecuación consiste en encontrar los valores de x que son solución de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones es llamado el conjuntosolución. A veces se usa la terminología incógnita para referirse a la variable. Para resolver una ecuación normalmente realizamos una serie de pasos, de acuerdo a la característica de la ecuación, debemos asegurarnos que los pasos que realicemos conduzcan a una ecuación con las mismas soluciones. Si después de realizar operaciones en una ecuación obtenemos una ecuación con las mismas soluciones que laoriginal diremos que ambas ecuaciones son equivalentes. Existen tres operaciones que garantizan que vamos a obtener ecuaciones equivalentes a la original: 1) Sumar o restar el mismo polinomio a ambos lados de la ecuación. 2) Multiplicar o dividir por una constante distinta de cero ambos miembros de la ecuación. 3) Sustituir una expresión por otra equivalente. Hay operaciones que pueden agregarsolución: 1) Multiplicar por un polinomio ambos miembros de la ecuación. Ejemplo: Si en la ecuación 2 x = 10 , multiplicamos ecuación 2 x( x − 1) = 10( x − 1) , cuyas soluciones son 5 y 1. Se agregó una solución. por (x-1), nos queda la

2) Elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación. Ejemplo: Si en la ecuación x = 1 , cuya solución es explícita, elevamos ambos miembros al cuadrado nos queda x 2= 1 , donde el lector puede verificar que sus soluciones son -1 y 1. De nuevo se agregó soluciones. En algunos métodos de resolución hay que realizar estas operaciones. En este caso se debe verificar siempre las soluciones encontradas en la ecuación original para ver si fueron soluciones añadidas. En el caso de multiplicar por un polinomio, las posibles soluciones añadidas son las raíces delpolinomio. Observe como en el ejemplo efectivamente se agregó el 1, donde x-1 se hace 0. Hay operaciones que pueden quitar soluciones a la ecuación original como Dividir por un polinomio a ambos miembros. La operación de dividir entre un polinomio debe ser evitada, pues se puede perder soluciones. Es frecuente en los estudiantes resolver la ecuación de la siguiente manera: x2 = x
CUIDADO!! Alcancelar puede perder soluciones

x =1

Al cancelar, realmente están dividiendo ambos lados por x

La ecuación original x 2 = x , tiene dos soluciones, 0 y 1. Se perdió la solución 0. x2 − x = 0 x( x − 1) = 0 En esta sección aprenderemos a resolver ciertos tipos de ecuaciones. Un primer paso para resolver una ecuación es reconocer de qué tipo es y entonces aplicar las recomendaciones del caso.Ecuaciones como las del ejemplo 1 serán ecuaciones tipo: a) 2 x = 10 lineal b) t 2 = −2t + 3 cuadrática c) 1 − 2r + 1 = 0 con radicales 5x − 1 1 + = 0 racionalesd) x −1 x También se enseñarán estrategias que pueden servir para una cierta variedad de ecuaciones. ECUACIONES LINEALES Definición.- Diremos que una ecuación es lineal en la variable x si puede escribir en la forma ax + b = 0 con a y bconstantes y a ≠ 0 . Para resolver ecuaciones lineales se deberá realizar una serie de operaciones que conduzcan a ecuaciones equivalentes a la original hasta obtener una ecuación de

la forma x = c cuya solución es explícita. Normalmente se dice que la x debe quedar despejada en un lado de la ecuación. Veamos el siguiente ejemplo que ilustra como vamos obteniendo ecuaciones equivalentes: Ejemplo...