Ecuaciones

8. Ecuación diferencial que No es exacta.
1) Verifique si la ED es exacta si no lo es vuélvala exacta:
𝑥𝑦 − 1 𝑑𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0
Calcular:

Como:

𝜕𝑀 𝜕𝑁
≠
𝜕𝑦
𝜕𝑥

𝜕𝑀
= 𝑥 = 𝑀𝑦
𝜕𝑦

&𝜕𝑁
= 2𝑥 − y = 𝑁𝑥
𝜕𝑥

Entonces la ED no es exacta.

Para volverla exacta se debe calcular:

𝑁𝑥 − 𝑀𝑦
𝑀𝑦 − 𝑁𝑥
ó
= ℎ(𝑥)
= 𝑔(𝑥)
𝑀(𝑥, 𝑦)
𝑁(𝑥, 𝑦)

Cualquiera de estas funciones debedepender sólo de una variable.
𝑀𝑦 − 𝑁𝑥
𝑥 − 2𝑥 + 𝑦
−𝑥 + 𝑦
1
⇒
= 𝑔(𝑥) =
=
=
−
= 𝑝(𝑥)
𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑥 2 − 𝑥𝑦
−𝑥(−𝑥 + 𝑦)
𝑥

Con 𝑝(𝑥) calcular el factor de integración:
⇒ 𝜇=𝑒

1
− 𝑥𝑑𝑥

= 𝑒 −𝑙𝑛𝑥 =𝑒 𝑙𝑛 𝑥

−1

=

1
1
⇒ 𝜇=
𝑥
𝑥

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

1

Luego multiplicar el factor de integración por la EDdada:
⇒

1
1
𝑥𝑦 − 1 𝑑𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 ⇒
𝑥
𝑥

𝑦−

1
𝑑𝑥 + 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (1)
𝑥

Ahora verificar si (1) es exacta:
𝜕𝑀
=1
𝜕𝑦

Como:

𝜕𝑀 𝜕𝑁
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥

𝜕𝑁
=1
𝜕𝑥

Entonces la ED esexacta.

Luego se resuelve la ED exacta, según el procedimiento visto anteriormente.

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

2

2)Verifique si la ED es exacta si no lo es vuélvala exacta:
6𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑦 + 9𝑥 2 𝑑𝑦 = 0

Calcular:
Como:

𝜕𝑀 𝜕𝑁
≠
𝜕𝑦
𝜕𝑥

𝜕𝑀
= 𝑀𝑦 = 6𝑥
𝜕𝑦

&

𝜕𝑁
= 𝑁𝑥 = 18𝑥
𝜕𝑥

Entonces la ED no esexacta.

Para volverla exacta se debe calcular:

𝑀𝑦 − 𝑁𝑥
= 𝑔(𝑥)
𝑁(𝑥, 𝑦)

𝑁𝑥 − 𝑀𝑦
= ℎ(𝑥)
𝑀(𝑥, 𝑦)

Cualquiera de estas funciones debe depender sólo de una variable.

⇒

⇒

𝑀𝑦 − 𝑁𝑥
6𝑥 − 18𝑥−12𝑥
= 𝑔(𝑥) =
=
𝑁(𝑥, 𝑦)
4𝑦 + 9𝑥 2
4𝑦 + 9𝑥 2

Está en función de 𝑥 & 𝑦, esta
forma no funciona.

𝑁𝑥 − 𝑀𝑦
18𝑥 − 6𝑥
12𝑥
2
= ℎ 𝑥 =
=
=
= 𝑝(𝑦)
𝑀(𝑥, 𝑦)
6𝑥𝑦
6𝑥𝑦
𝑦

UMG – Facultad deIngeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

3

Con 𝑝(𝑦) calcular el factor de integración:
⇒ 𝜇=𝑒

2
𝑦 𝑑𝑦

2

= 𝑒 2 𝑙𝑛𝑦 = 𝑒 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑦 2 ⇒ 𝜇 = 𝑦 2...