Ecuaciones

Tema 2

Ecuaciones diferenciales aplicadas a la
Biolog´
ıa
2.1

Introducci´n
o

Existen numerosos modelos matem´ticos de diversa ´
a
ındole que se utilizan hoy en d´ para el estudio
ıa
de problemas en Biolog´ y otras ciencias experimentales; sus objetivos principales son describir,
ıa
explicar y predecir fen´menos y procesos en dichas ´reas. La gran parte de tales modelosmatem´ticos
o
a
a
se expresa mediante ecuaciones diferenciales.
El objetivo de este tema es describir brevemente algunos de los conceptos b´sicos relacionados con
a
las ecuaciones diferenciales ordinarias, mostrar t´cnicas elementales de su resoluci´n, as´ como exponer
e
o
ı
ejemplos pr´cticos de aplicaciones.
a
Una ecuaci´n diferencial es una ecuaci´n en que la inc´gnita es una funci´n: no elvalor de la
o
o
o
o
funci´n en uno o varios puntos, sino la funci´n en s´ misma. Adem´s, la ecuaci´n involucra no s´lo la
o
o
ı
a
o
o
funci´n (inc´gnita), sino tambi´n sus derivadas hasta un cierto orden.
o
o
e
Cuando la inc´gnita es una funci´n de una sola variable se dice que la ecuaci´n es ordinaria, debido
o
o
o
a que la o las derivadas que aparecen son derivadasordinarias (por contraposici´n a las derivadas
o
parciales de las funciones de varias variables).
Por ejemplo,
y (t) = −y (t)

(2.1)

es una ecuaci´n diferencial ordinaria (edo) de primer orden, ya que la m´xima derivada que aparece
o
a
en ella es la de primer orden. Si no resulta confuso se suele escribir tambi´n esta ecuaci´n en la forma
e
o
y = −y , omitiendo la menci´n expresa a ladependencia de y respecto a la variable independiente, t.
o
Resolver esta ecuaci´n consiste en encontrar una o varias funciones y = y (t) que verifiquen la
o
igualdad y (t) = −y (t), para todo t perteneciente a un cierto intervalo I . Una tal funci´n se dice que
o
es una soluci´n de la edo en el intervalo I .
o
Con car´cter general, una ecuaci´n diferencial ordinaria de primer orden se escribe:a
o
y = f (t, y )

(2.2)

y se dice que y = y (t) es soluci´n en I de esta ecuaci´n si se verifica
o
o
y (t) =

dy
(t)
dt

= f (t, y (t)),
1

∀ t ∈ I.

(2.3)

Ecuaciones diferenciales aplicadas a la Biolog´
ıa

2

Por ejemplo, la funci´n y = e−t es soluci´n de la ecuaci´n (2.1) en cualquier intervalo I ⊂ R, ya
o
o
o
que
y (t) = −e−t = −y (t),

∀ t ∈ R.

Perotambi´n es soluci´n cualquier funci´n de la forma y = Ce−t siendo C una constante arbitraria,
e
o
o
puesto que
y (t) = −Ce−t = −y (t), ∀t ∈ R.
6

4

2

0

−2

−4

−6
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 2.1: Curvas de la familia y (t) = Ce−t ,
soluciones de la ecuaci´n (2.1), para diversos
o
valores de C .
As´ pues, la ecuaci´n (2.1) tiene infinitas soluciones, lo queno es una particularidad de esta ecuaci´n
ı
o
o
concreta. La ecuaci´n diferencial ordinaria (2.2) posee, en general, una “familia” de infinitas soluciones
o
o
dependientes de una constante arbitraria, a la que se suele llamar soluci´n general de (2.2). Para
cada valor de dicha constante arbitraria se obtiene una soluci´n particular.
o
Con frecuencia, en las aplicaciones, lo que interesaes encontrar una soluci´n particular que verifica
o
alguna condici´n adicional. Por ejemplo, que toma un valor dado para un valor, tambi´n dado, de la
o
e
variable independiente. En este caso, el problema que se plantea se escribe:
y = f (t, y )
y (t0 ) = y0 ,

(2.4)

y recibe el nombre de problema de valor inicial. El nombre proviene del hecho de que, con frecuencia,
la variableindependiente, t, representa el tiempo, y el valor t0 es el instante en que comienza un
experimento, observaci´n o simulaci´n.
o
o
En general, si se verifican ciertas condiciones razonables de regularidad de la funci´n f , el problema
o
de valor inicial (2.4) tiene soluci´n unica.
o´
Por ejemplo, el siguiente problema de valor inicial, asociado a la ecuaci´n (2.1),
o
y = −y
y (0) = 1 ,...