Ecuaciones

Las ecuaciones diferenciales también tienen aplicación dentro de los problemas de mezclas. En estos problemas aparecen involucradas sustancias, las cuales se mezclan dentro de un recipiente devolumen dado V0. Supongamos que inicialmente teníamos una cantidad de X0 kilogramos de una sustancia diluida en una concentración de X0/V0 Kg/m3, y que introducimos otra solución que contiene unaconcentración b Kg/m3 de dicha sustancia la cual es introducida en el recipiente a una velocidad de e m3/sg. Además sacamos parte de la solución que se produce dentro del recipiente a una velocidad de f m3/sg.Si denotamos por y(t) la cantidad de sustancia en cuestión dentro del recipiente por unidad de tiempo, tenemos que la variación de dicha cantidad viene dada por:
y0 = ve − vs, donde ve y vsson lasvelocidades de entrada y salida de dicha sustancia respectivamente. Como
ve = be Kg/sg y vs = y(t)/V (t) Kg/sg donde V (t) = V0 + et − ft es el volumen de disolución en el recipiente por unidad detiempo, el problema de condiciones iniciales:
y0 = be + y/(Vo+et-ft)f
y(0) = X0

modeliza la cantidad de sustancia que hay en el recipiente por unidad de tiempo.
Por ejemplo, supongamos unatanque que contiene originalmente 400 litros de agua limpia. Vertemos en el tanque agua que contiene 0.05 kilogramos de sal por litro a una velocidad de 8 litros por minuto, y se deja que la mezcla salgadel recipiente a la misma rapidez. Vamos a determinar la cantidad de sal que habrá en el recipiente al cabo de 20 minutos. Para ello, teniendo en cuenta que el volumen se mantiene constante,planteamos el problema de condiciones iniciales
y0 = 0.4 + y/1000
y(0) = 0.
La ecuación diferencial implicada es lineal. La ecuación homogénea y’= y/1000 tiene por solución y(t) = Ke^(t/1000), donde K es laconstante procedente de la integración. Por el método de variación de constantes calculamos la solución de la ecuación no homogénea imponiendo que y(t) = K(t) e^(t/1000) sea solución de la misma....