ecuaciones



Objetivos:
Se pretende que el estudiante:
Defina diversos tipos de intervalos
Represente intervalos en la recta real.
Defina valor absoluto de un número real.
Aplique las propiedades del valor absoluto.
Resuelva ecuaciones, lineales, cuadráticas, con radicales, con valor absoluto.
Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de ecuaciones.

6.1Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de números reales.
Tenemos los siguientes tipos de intervalos:























6.2 VALOR ABSOLUTO

Si , entonces el valor absoluto de denotado como , se define como:

Es decir, si es un número positivo o cero su valor absoluto es el mismo número. Si es negativo su valor absoluto es el número cambiado de signo (lo hacemospositivo).


Ejemplo 1


Ejemplo 2


Ejemplo 3


6.2.1 Propiedades
Si , entonces:
1.
2. ;
3.
4.

No olvide demostrarlas.

Con la definición de valor absoluto podemos referirnos a otros tipos de intervalos.


6.2.2 Intervalos Simétricos






Pregunta: ¿A qué intervalo se refiere el conjunto?

Bien empecemos a tratar a las ecuaciones o igualdades.6.3 ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA
Las ecuaciones que trataremos a continuación son las que tienen una incógnita “”, y usualmente están estructuradas de la siguiente manera:






6.3.1 Leyes
En una igualdad, sin alterarla, usted puede:
1. Sumar o restar una misma cantidad a ambos miembros. Es decir:
Si , entonces ; para todo
2. Multiplicar una misma cantidad a ambos miembros. Esdecir:
Si entonces ; para todo
3. Dividir una misma cantidad (diferente de cero) a ambos miembros. Es decir:
Si entonces ; para todo

6.3.2. Ecuaciones de Primer Grado (Ecuaciones Lineales)
Una ecuación lineal o de primer grado es un predicado, cuya expresión algebraica una vez simplificada presenta la forma:

Determinemos su conjunto solución
Despejando “”tenemos: entonces


Prueba: si reemplazamos el valor de “” en la ecuación dada, entonces:


Generalmente el conjunto solución está compuesto por un sólo elemento, es decir existe un sólo valor para que satisface la ecuación. Pero en ciertos casos especiales puede ocurrir otra cosa.
Ejercicio resuelto
El valor de "" que se obtiene al resolver la ecuación :es: a) b) c) d) e)

SOLUCIÓN:
Primero se simplifica la expresión algebraica de la ecuación dada para así, despejar luego ""

Por lo tanto la respuesta es la opción “b”

Ejercicios Propuestos 6.1
1. Si , encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a)
b)

2. Un valor de "" que satisface a laigualdad:
, ,
es: a) b) c) d) e)

3. Sea el predicado . ;. Entonces su conjunto solución es:
a) b) c) d) e)


6.3.3 Ecuaciones de Segundo Grado (Ecuaciones Cuadráticas)
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es un predicado, que una vez que haya sido simplificado, presenta la forma:
, donde
Su conjunto solución se lo puede determinar por los siguientesmétodos:
1. Factorizando el trinomio, siempre y cuando sea posible. Entonces tendríamos:
Por lo tanto, como si y sólo si , entonces:



Ejemplo
Para la ecuación







2. Empleando la Fórmula General. En cualquier caso se podría completar cuadrados, para de allí encontrar , entonces obtendríamos: ¿Dedúzcala?

Ejemplo
Aplicando la fórmula general,encontremos las raíces de la ecuación cuadrática del ejemplo anterior:
Tenemos que:
por lo tanto:

6.3.3.1 Discriminante
A la expresión dentro del radical de la fórmula general se la llama Discriminante y se la denota con la letra D Entonces:
CASO I: Si , entonces las raíces serán reales y diferentes. Es decir:
y
Observe el ejemplo anterior.
CASO II:...