ecuaciones

CAPÍTULO I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1.1 Definición: Una Ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función
desconocida con respecto a una o mas variables
obs: La función desconocida es la variable dependiente

Si la función desconocida depende de una sola variable, la ecuación se llama Ecuación Diferencial
Ordinaria
Si la función desconocidadepende de dos o mas variables, la ecuación se llama Ecuación
Diferencial Parcial
Ejemplos: diga si las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias o parciales.

1)

d2y
 4y  0
dx 2

Es ordinaria, ya que la función desconocida “y” depende solo de “x”.

 2v  2v
2) 2  2  0
y
x

Es parcial, ya que la función desconocida “v” depende de dos variables:
“x” y “y”.

3)

yy
 4  8t
x
t

Es parcial, ya que la función desconocida “y” depende de dos variables:
“x” y “t”.

4) h 2

 2 u u

x 2 t



Es parcial, ya que la función desconocida “u” depende de dos variables:
“x” y “y”.



5) x 2  y 2 dx  6 xydy  0 Es ordinaria, ya que aquí puede inferirse implícitamente una

derivada por
la presencia de diferenciales. La ecuación puedetener a “y” como función
desconocida y a “x” como la variable independiente o viceversa.

Definición 1.2: El orden de una ecuación diferencial es el orden de la más alta derivada que
aparece en la ecuación.
Ejemplos: mencione el orden y el tipo de las siguientes ecuaciones diferenciales
4

1)

d2y
 dy 
 7   8 y  0
2
dx
 dx 

Tiene orden 2 y es ordinaria

3

 d 2w 
dw2)  2   xy
 4 xy  0
dx
 dx 
3)

d 3x
dx
 x  10 y  0
3
dy
dy

Tiene orden 2 y es ordinaria

Tiene orden 3 y es ordinaria

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

1

4) x

f
f
y
 nf
x
y

Tiene orden 1 y es parcial

Definición 1.3: Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si puede escribirse en la forma:

a n x 

dny
d n 1 y
d2y
dy



a
x
a
x


...

 a1  x   ao  x  y  g  x 

n
1
2
n
n 1
2
dx
dx
dx
dx

es decir, debe cumplir con lo siguiente:
La variable dependiente y y todas sus derivadas son de grado 1
g(x) y todos los coeficientes a n  x , a n 1  x , ...a 2  x , a1  x  y a o  x  dependen solo de
la variable independiente x.

i)
ii)

Ejemplos: mencione el tipo, el orden yla linealidad de las siguientes ecuaciones diferenciales. Si la ecuación
es no lineal, mencionar el porqué.

d2y
dy
 x 2  3  5 y  Cosx
3
dx
dx
dx

2 d
1) 1  x 

2) 10t

3)

y

Es ordinaria, orden 3 y Lineal

d4y
dy
 t  2   4 y 2   x
4
dt
dt

Es ordinaria, orden 4 y No Lineal porque en el
tercer término, la variable dependiente “y” no es
de primer gradod 2w
 tw  0
dt 2

4) x 4

5)

3

Es ordinaria, orden 2 y Lineal

d 5z
d 3z
dz

10
 4  z  Tanz
x
5
3
dx
dx
dx

Es ordinaria, orden 5 y No Lineal porque Tanz
no depende de la variable independiente “x”

u  2 u  2 u


t x 2 y 2

Es parcial de orden 2 y, por ser parcial, no
puede ser Lineal, ya que todas las Lineales son
ordinarias

1.2 SOLUCIÓNDE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Definición 1.4: Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface a la
ecuación, esto es, la reduce a una identidad.
Ejemplo 1: demuestre que la función
Demostración:
Derivando

y  e  x  x  1 es solución de la ecuación diferencial y '  y  x

y  e  x  x  1 con respecto a x: y '  e  x  1

sustituyendo en

y '  y  x ,se tiene: (  e  x  1 )  ( e  x  x  1 )  x

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

2

x  x

eliminando términos semejantes se tiene la identidad
Ejemplo 2: demuestre que la función

y

Demostración:

ln x  c
2 '
es solución de la ecuación diferencial x y  xy  1
x

ln x  c
'
Derivando y 
con respecto a x: y 
x

x

1
 ln x  c
1  c  ln x
x

2
x
x2...