Ecuaciones

Instituto Tecnológico de Costa Rica
Escuela de Matemáticas
MA - 2105 Ecuaciones Diferenciales
II Semestre de 2012

Puntaje máx: 35
Tiempo máx.: 2 hrs, 20 min.

Segundo Examen Parcial
Instrucciones: Esta es una prueba de desarrollo. Por tanto, incluya el procedimiento que utilizó para llegar a sus
respuestas. Las preguntas resueltas con lápiz o que presenten secciones en que se utilizócorrector no podrán
apelarse. Utilice un cuaderno de examen u hojas debidamente grapadas. No se permite el uso de calculadora
programable.

1. Considere la siguiente ecuación diferencial 𝑦 ( ) + 2𝑦 ( ) + 𝑦 = 𝑥 + 1 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥.

(4 puntos)

Proponga la forma que tendría la solución general de la ecuación anterior.
Solución:
La ecuación característica de la ecuación 𝑦 ( ) + 2𝑦 ( ) + 𝑦 = 0 vienedada por 𝑚 + 2𝑚 + 𝑚 = 0,
resolviendo esta ecuación obtenemos que:
𝑚 + 2𝑚 + 𝑚 = 0

𝑚(𝑚 + 2𝑚 + 1) = 0
𝑚(𝑚 + 1) = 0
𝑚 = 0, 𝑚 = ±𝑖 (dos veces)

Por lo que la solución general de la ecuación homogénea anterior viene dada por:
𝑦 (𝑥) = A + B ∙ sen𝑥 + C ∙ cos𝑥 + 𝑥D ∙ sen𝑥 + 𝑥E ∙ cos𝑥
Con la información anterior se tiene que la ecuación original tiene como solución general:
𝑦(𝑥) = A + B ∙ sen𝑥+ C ∙ cos𝑥 + 𝑥D ∙ sen𝑥 + 𝑥E ∙ cos𝑥 + F𝑥 + G𝑥 + 𝑥 H ∙ sen𝑥 + 𝑥 I ∙ cos𝑥
2. Determine una ecuación diferencial cuya solución general, viene dada por:
𝑦(𝑥) = 𝑐 + 𝑐 𝑒

+ 𝑐 𝑥𝑒

(4 puntos)

+ cos(3𝑥) + 4𝑥

Solución:
Como la solución general de la ecuación homogénea tiene la forma 𝑦 (𝑥) = 𝑐 + 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑥𝑒 ,
entonces la ecuación característica sería 𝑚(𝑚 + 1) = 𝑚 + 2𝑚 + 𝑚, de donde la ecuacióndiferencial homogénea sería 𝑦 + 2𝑦 + 𝑦 = 0.
Sea 𝑦

+ 2𝑦 + 𝑦 = 𝑓(𝑥), el objetivo es determinar 𝑓(𝑥)

Como en este caso 𝑦 (𝑥) = cos(3𝑥) + 4𝑥, entonces:
𝑦 (𝑥) = −3sen(3𝑥) + 4
𝑦 (𝑥) = −9cos  (3𝑥)
𝑦 (𝑥) = 27sen(3𝑥)
Por lo que:
𝑓(𝑥) = 𝑦

+ 2𝑦 + 𝑦 = 27sen(3𝑥) − 18 cos(3𝑥) − 3sen(3𝑥) + 4 = 24sen(3𝑥) − 18 cos(3𝑥) + 4

Respuesta: Una ecuación diferencial que tiene como solución general lafunción propuesta es:
𝑦

+ 2𝑦 + 𝑦 = 24sen(3𝑥) − 18 cos(3𝑥) + 4

3. Considere la ecuación diferencial 𝑥 𝑦" + 2𝑥 𝑦′ + 𝑦 = 0, con 𝑥 ≠ 0
a. Sabiendo que 𝑦 (𝑥) = cos

(*)

es solución de la ecuación diferencial (*), determine otra solución

𝑦 (𝑥) de la ecuación indicada, de tal forma que 𝑦 y 𝑦 sean linealmente independientes.
(4 puntos)
b. Verifique que efectivamente 𝑦 y 𝑦 son linealmenteindependientes y escriba la solución
general de (*).
(2 puntos)
Solución:
a. Como 𝑥 𝑦" + 2𝑥 𝑦′ + 𝑦 = 0 entonces 𝑦" + 𝑦′ +

𝑦 = 0, entonces una solución 𝑦 (𝑥) de esta

ecuación viene dada por 𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) ∙ 𝑢(𝑥), donde:
𝑢(𝑥) =

𝑒∫
𝑐𝑜𝑠

 

 𝑑𝑥 =

1
𝑥

Podemos tomar 𝑢(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛

𝑒
𝑐𝑜𝑠

1
𝑥

𝑑𝑥 =

𝑑𝑥
𝑥 𝑐𝑜𝑠

1
𝑥

=

1
𝑥  𝑑𝑥 = −𝑡𝑎𝑛 1
𝑥
𝑥

𝑠𝑒𝑐

, de donde 𝑦(𝑥) = 𝑦 (𝑥) ∙ 𝑢(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠

∙

b. Verifiquemos que 𝑦 y 𝑦 son linealmente independientes.
𝑤(𝑦 , 𝑦 ) =

𝑐𝑜𝑠
−

𝑠𝑒𝑛

𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠

=

𝑐𝑜𝑠

+

𝑠𝑒𝑛

=

≠ 0.

= 𝑠𝑒𝑛

4. Resuelva la ecuación diferencial 4𝑥 𝑦" − 4𝑥𝑦′ + 3𝑦 = 𝑙𝑛𝑥

(5 puntos)

Solución: Ecuación de Euler – Cauchy
Sea 𝑥 = 𝑒 entonces se tiene que

= 𝑒 , por lo que:

𝑦 =

=𝑒

=

∙

=

∙

=

∙

𝑑𝑦
𝑑𝑦𝑑 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑 𝑒 𝑑𝑡 𝑑𝑡
         𝑦" =
=
=
∙
=𝑒
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥

𝑑𝑦
+𝑒
𝑑𝑡

−𝑒

𝑑 𝑦
=𝑒
𝑑𝑡

𝑑 𝑦 𝑑𝑦
−
𝑑𝑡
𝑑𝑡

De donde:
         4𝑥 𝑦" − 4𝑥𝑦′ + 3𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 ⟹ 4𝑒
                                                                                                   ⟹ 4
Resolvamos 4

−8

𝑒
−4

−
−4

− 4𝑒

𝑒

+ 3𝑦 = 𝑡  ⟹ 4

+ 3𝑦 = 𝑙𝑛(𝑒 )
−8

+ 3𝑦 = 𝑡

+ 3𝑦 = 0La ecuación característica asociada a esta ecuación es 4𝑚 − 8𝑚 + 3 = 0, cuyas soluciones son:
𝑚 =

1
3
,𝑚 =
2
2

Así se tiene que la solución general de la homogénea es:
𝑦 (𝑥) = 𝑐 𝑒
Busquemos una solución particular de    4

−8

Propuesta: 𝑦 (𝑡) = A𝑡 + B, entonces: 𝑦 (𝑡) =
       4

+𝑐 𝑒
+ 3𝑦 = 𝑡.
= A, 𝑦 (𝑡) =

=0

𝑑 𝑦
𝑑𝑦
−8
+ 3𝑦 = 𝑡 ⟹ 4 ∙ 0 − 8 ∙ A + 3At + 3B =...