Ecuaciones

Las ecuacionnes diferenciales sirven como medelo matemático para el estudio de problemas que surgen en disciplinas muy diversas. Desde sus comienzos han contribuido de manera muy notable a solucionar muchas cuestiones y a interpretar numerosos fenómenos de la naturaleza. Su origen histórico es inseparable de sus aplicaciones a las ciencias físicas, químicas e ingeniería, ya que para resolvermuchos problemas significativos se equiere la determinación de una función que debe satisfacer una ecuación en la que aparece su derivada.
En la historia de las ecuaciones diferenciales se pueden considerar cinco etapas, dinde cada una de ellas marca un avance definitivo. La primera etapa iría desde los inicios hasta 1820 cuando Cauchy publica su teorema de existencia, que da inicio a la segundaetapa que marca la edad del rigor. La tercera comienza en 1870 con M.S. Lie (1842 - 1899) y la aplicación de la teoriá de grupos continuos a las ecuaciones diferenciales, particularmente aquellos de la dinámica de Hamilton-Jacobi. La cuarta comienza en 1880 con el trabajo de E. Picard (1856 - 1941) y su teorema de existencia. La construcción de las ecuaciones diferenciales es análoga a la teoría delas ecuaciones algebraicas de Galois. La última etapa comienza en 1930 donde el análisis se hace más general. Ya E.H. Moore en 1908 estudia ecuaciones con un número infinito numerable de variables.
Quizá se podría situar la primera idea sobre ecuación diferencial hacia finales del siglo XVI y principios del siglo XVII en los trabajos realizados por John Napier (1550 - 1617) cuando inventó loslogaritmos. Vistas las tablas confeccionadas por él, si se utilizara el simbolismo moderno del cálculo infinitesimal, se podrían considerar como la resolución numérica de una ecuación diferencial.
Lo infinitamente pequeño tenía para Galileo Galillei (1564-1642) una importancia más inmediata que lo infinitamente grande, puesto que lo necesitaba en su dinámica. Galileo analizó el comportamiento delmovimiento de un proyectil con una componente horizontal y uniforme, y una componente vertical uniformemente acelerada, consiguiendo demostrar que la trayectoria del proyectil, despreciando la resistencia del aire, es siempre una parábola. Estudió el problema del espacio recorrido por un cuerpo en caída libre y se puede considerar que utilizó para su resolución ecuaciones difereciales. De PierreFermat (1601 - 1665) dice Laplace que es el verdadero inventor del cálculo diferencial.
Las ecuaciones diferenciales aparecen simultáneamente al cálculo infinitesimal. Por ejemplo en 1638 apareció el problema de la tractriz, propuesto por René Descartes (1596 - 1650) a Fermet, que realmente es un problema de tangentes a una curva, y fue resuelto en 1674 por Leibniz y en 1690 por Jakob Bernoulli,cuando ya se conocían los trabajos de Newton y Leibniz.
Las ecuaciones diferenciales comienzan con Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried Withelm Leibniz (1646 - 1716). Dice este último “considerando la matemática desde el comienzo del mundo hasta la época de Newton, lo que él ha hecho es, con mucho, la mitad mejor.
Issac Newton (1642 - 1727) nació el mismo año en que murió Galileo. Los problemas quemotivaron sus descubrimientos fueron el estudio de la dinámica del punto y del sólido rígido. Sus primeros descubrimientos matemáticos datan de 1665 en que expresó funciones en series de potencias, y empezó a pensar en la velocidad del cambio, o fluxión de magnitudes que varían de manera continua tales como áreas, longitudes, distancias, temperaturas, etc. Asociando de manera conjunta ambosproblemas, las series infinitas y las velocidades de cambio.


La influencia cultural fue tremenda. La naturaleza obedece a leyes generales. Da origen a la concepción filosófica de Kant, al pensamiento de la ilustración y al determinismo científico por el que el conocimiento de estas leyes llevaría a conocer completamente el pasado y el futuro. Este concepto de que las leyes físicas son...