Ecuaciones

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices se utilizan para múltiplesaplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
• Orden de la matriz: El número de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz estádeterminado por un par de números naturales; m y n.

 figura 1.1

Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ].
Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la primera columna estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].

Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de númerosdispuestos en m filas y n columnas.
Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.

Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posición, la cual queda definida por su fila y su columna.
Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7 (figura 1.1), sería de la siguiente forma:

am,n es a2,3m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.
Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a una "caja", "cuadro", etc. que contiene mxn números reales dispuestos en m filas y n columnas.

* A los números reales aij se les llama elementos de la matriz.
* El primer subíndice (i) indica lafila, el segundo (j) la columna. Así, el elemento a32 es el que está en la tercera fila y la segunda columna.
* Las dimensiones de la matriz son m y n.

Formalmente podemos definir una matriz de la siguiente manera:
Sean I={1,2,...,m}, J={1,2,...,n} dos conjuntos finitos de índices.
Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a toda aplicación:
a: IxJ %%%%> R(i,j) %%%> a(i,j)=aij
que asocia a cada par (i,j) el número real a(i,j) que representamos por aij.
Denotaremos por Mmxn al conjunto de las matrices de orden mxn.
ð
Es una matriz de orden 3x4 (3 filas, 4 columnas), a23=-1, a32=8, a34=0. etc.

Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1n.
Ejemplo
Matriz columna: Es unamatriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m 1.
Ejemplo
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n  n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 ladiagonal secundaria.
Ejemplo
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n  m.
Ejemplo
Matriz simétrica: Unamatriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji i, j.
Ejemplos
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji  i, j.
Ejemplos
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Ejemplos
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes...