ecuaciones

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
L.O.G.S.E.
CURSO 2007 - 2008

CONVOCATORIA:

MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS.

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a
cuatro de las cinco preguntas.
- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.

PRUEBA A
1.- Se afirma que “por lo menos el 60% de losestudiantes almuerzan en el comedor de la Facultad”. Para
contrastarlo se toma una muestra de 441 estudiantes resultando que 220 almuerzan en dicho comedor.
a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación inicial?
b) Construir un intervalo de confianza, de nivel 0.95, para la proporción poblacional de estudiantes que
almuerzan en el comedor de la Facultad.
Solución
a)Planteamos el contraste:
H 0 : p ≥ 0.6 = p0 ⎫
220
= 0.4988; α = 0.01; z1−α = −2.33
⎬ n = 441; pˆ =
H1 : p < 0.6
441
⎭
Región crítica:

⎧⎪
p0 (1 − p0 ) ⎫⎪ ⎪⎧
0.6 (1 − 0.6 ) ⎪⎫
ˆ
ˆ
p
p
z
p
<
+
=
<
−
0.6
2.33
⎨
⎬ ⎨
⎬ = { pˆ < 0.5456} .
0
1−α
n
441
⎪⎩
⎪⎭ ⎪⎩
⎪⎭
ˆ < 0.5456 , no se acepta H 0 .
Como p
b)
El intervalo de confianza es:

⎡
⎢ pˆ − zα
2
⎣

pˆ (1 − pˆ )
, pˆ + zα
n
2

pˆ (1 − pˆ ) ⎤
⎥
n
⎦

ˆ =0.4988 , zα = 1.96 , el intervalo es igual a:
Como p
2

⎡
0.4988 (1 − 0.4988 )
0.4988 (1 − 0.4988 ) ⎤
⎢ 0.4988 − 1.96
⎥ = [ 0.4521, 0.5455]
, 0.4988 + 1.96
441
441
⎢⎣
⎥⎦

2.- Una encuesta, realizada sobre una muestra de los jóvenes de una ciudad, para determinar el gasto mensual
medio (expresado en euros) en teléfono móvil, concluyó con el intervalo de confianza al 95%:
[10.794, 13.206] .

a) ¿Cuál esel gasto mensual medio muestral?
b) ¿Cuál es el correspondiente intervalo de confianza al 99%?
c) Si, aproximando con cuatro cifras decimales, la desviación típica del gasto mensual es de 7.9989
euros, ¿cuál es el tamaño de la muestra encuestada?

Solución

10.794 + 13.206
= 12 euros.
2
σ
σ 1.206
. Por tanto,
=
= 0.6153 . Por tanto, el intervalo de confianza al
b) Tenemos que 1.206 = 1.96
n 1.96n
99% es: [12 ± 2.575 × 0.6153] = [10.4156, 13.5844]
a) El gasto mensual medio muestral es

c) Como

σ

2

⎛ 7.9989 ⎞
= 0.6153 , n = ⎜
⎟ = 169
n
⎝ 0.6153 ⎠

3.- El precio en euros, P, de un producto depende del número de días, x, transcurridos desde que dicho
producto se puso en venta. La función que relaciona x y P es:
x2
P ( x ) = − + 20 x + 375
3
a) Determinar si la función tiene máximo y/omínimo. Razonar la respuesta.

b) Si el producto se retira del mercado porque el precio es nulo, ¿cuándo ocurre esto?
c) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función.
Solución

2x
2
+ 20 = 0 , x = 30 . Como P '' ( 30 ) = − , en x = 30 hay un máximo. No hay mínimo.
3
3
2
−20 ± 400 + 500 −20 ± 30
x
=
b) Si P ( x ) = − + 20 x + 375 = 0 , x =
, x = 75 . A los 75 días se retira del
2
2
3
−
−
33
mercado.
c) P ( x ) crece en el intervalo [ 0,30 ) y decrece en ( 30, ∞ )
a) P ' ( x ) = −

4.- Una alfombra de flores lleva 21 rosas por cada 4 decímetros cuadrados de superficie. Se quiere rellenar de
rosas una parte de la alfombra cuya gráfica está limitada por las funciones y = − x 2 + 4 x + 3 e y = 3 . Si se
mide en metros:
a) Representar la parte de la alfombra.
b) Calcular el área de laparte de la alfombra.
c) Si cada rosa cuesta 0,3€, ¿Cuánto cuesta rellenar esa parte de la alfombra?
Solución
a)

b) Los puntos de corte son ( 0,3) y ( 4,3) . La superficie es
4

⎛ x3
⎤
64 32 2 3200 2
S = ∫ ( − x + 4 x )dx = ⎜ − + 2 x 2 ⎥ = 32 −
=
m =
dm
3
3
3
⎝ 3
⎦0
0
3200
El número de rosas necesarias es 3 21 = 5600 . El coste es 5600 × 0.3 = 1680 €
4
4

2

5.- En un hotel hay un total de 240turistas ingleses, alemanes y franceses. Si los franceses son la tercera parte
de la suma de alemanes e ingleses y el 200% de los ingleses igualan a la suma de alemanes y franceses:
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) Determinar cuántos turistas de cada nacionalidad hay en el hotel.
Solución
i + a + f = 240 ⎫
i = 80
⎪
i+a
⎪
f =
⎬ ⇒ a = 100
3
⎪
f = 60
2i = a + f
⎪⎭

PRUEBA B...