Ecuaciones

Apuntes de Geometr´ Diferencial ıa de Curvas y Superficies
Angel Montesdeoca La Laguna, 2004

Contenido
TEMA I. Representaci´n param´trica de curvas o e 1.1 1.2 1.3 1.4 Representaci´n param´trica de curvas . . . o e Representaciones param´tricas equivalentes e Curvas param´tricas regulares . . . . . . . . e Longitud de arco de una curva . . . . . . . Parametrizaci´n natural . . . . . . . . o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 6 7 9 11 11 13 16 18 19 22 23 24 26 26 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 31 32 33 35 36 39 . . . . . . . . de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3941 44 45 47 48 51 51 53 54

TEMA II. Tangente y plano osculador a una curva 2.1 Contacto de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinaci´n del orden de contacto de curvas . . . . . . . . . . o Uso de parametrizaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretaci´n m´trica de la noci´n de contacto . . . . . . . . . o e o Determinaci´n de orden de contactoentre curvas cuando una de o ellas viene dada en forma impl´ ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangente a una curva param´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Ecuaci´n de la recta tangente en una parametrizaci´n general . o o Contacto de una curva con un plano. Plano osculador . . . . . . . . Ecuaci´n del plano osculador en una parametrizaci´n general . . o o Unacaracterizaci´n del plano osculador . . . . . . . . . . . . . . o

2.2 2.3

TEMA III. Triedro de Frenet y F´rmulas de Frenet o 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 El triedro de Frenet . . . . . . . . . F´rmulas de Frenet . . . . . . . . . . o Curvatura de una curva . . . . . . . Circunferencia osculatriz . . . . . . . Torsi´n de una curva . . . . . . . . . o Posici´n de una curva con respecto a o . . . . . . . . . . sus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . triedros de Frenet

TEMA IV. Ecuaci´n natural de una curva o 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Teorema fundamental de la teor´ de curvas . . . ıa Soluci´n general de las ecuaciones intr´ o ınsecas H´lice general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Esfera osculatriz . . . . . . . . . . . . . . .. . . Curvas esf´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Ecuaci´n de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . o

TEMA V. Curvas deducidas de otras 5.1 5.2 5.3 Evolutas de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Involutas de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

5.4Envolvente de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A) Caso de curvas dadas en forma impl´ ıcita . . . . . . . . . . . B) Envolventes de curvas planas dadas en forma param´trica . . e Envolvente de una familia de curvas planas dependientes de dos par´metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

57 58 60 63 65 65 68 73 73 74 74 74 75 77TEMA VI. Representaci´n param´trica de superficies o e 6.1 6.2 6.3 Superficie simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano tangente y vector normal a una superficie dada por una representaci´n param´trica . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . o e Ecuaci´n del plano tangente en coordenadas . . . . . . . . . . . o Plano tangente a una superficie dada en forma impl´ ıcita . . . . Orientaci´n de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Relaci´n entre orientaci´n y parametrizaci´n . . . . . . . . . . . o o o

6.4

TEMA VII. Envolvente de una familia de superficies 7.1 Envolvente de una familia...