Ecuaciones

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden

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1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Introducción Ecuaciones Lineales Ecuaciones de Bernoulli Ecuaciones separables Ecuaciones Homogéneas Ecuaciones exactas Factor Integrante Estabilidad dinámica del equilibrio Aplicaciones
Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • Encuentre soluciones generales y/o particulares deEcuaciones Diferenciales de primer orden • Determine Estabilidad dinámica cuantitativa y/o cualitativamente • Resuelva problemas de aplicaciones económicas

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Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden

1.1 INTRODUCCIÓN
En ciertas ocasiones resolver un problema puede conducir a plantear una ecuación que contiene derivadas. Por ejemplo, suponga que entonces
2y = ex
y´ y

2

dy = 2 xe x dx

2

;

la

razón

de

cambio

relativa

sería

y´ 2 xe x = x 2 = 2 x , despejando y e

tenemos

y´−2 xy = 0 . Esta última expresión

representa una ecuación diferencial.

1.1.1 Definición de Ecuación Diferencial

Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variablesindependientes se denomina Ecuación Diferencial.
Ejemplo
y´-2xy = x
donde

y = f (x)

Si la función desconocida depende de una sola variable, como es el caso del ejemplo anterior, se la llama Ecuación Diferencial Ordinaria. Si la función desconocida depende de más de una variable se llama Ecuación Diferencial Parcial o en Derivadas Parciales. Ejemplo
∂z ∂z + 2 xy = xz ∂x ∂y
donde
z = f ( x, y )Aquí nos dedicaremos sólo al estudio de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

1.1.2 Orden de una ecuación diferencial
El orden de una Ecuación diferencial está dado por la más alta derivada presente en la ecuación:

2

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Ejemplos
1.

dy − 2 xy = 0 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden dx

2.d2y dx 2

+ xy = y´ Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden

d4y d2y + 3 2 = 2 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Cuarto Orden 3. dx 4 dx

1.1.3 Grado de una ecuación diferencial
El grado de una Ecuación diferencial está dado por el exponente entero positivo de la más alta derivada presente en la ecuación.

Ejemplos
1.

y´´+5( y´)3 − 4 y = x

Una Ecuación DiferencialOrdinaria de segundo orden y primer grado Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer orden y segundo grado

2.

( y´)2 − 2 xy = 0

1.1.4 Ecuaciones Lineales

Una Ecuación Diferencial es lineal si lo es en todas sus derivadas y también en su variable dependiente.
Ejemplos
1.

dy + 2 xy = 0 dx

Una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de primer orden

d2y dy +x − y = 0 Una EcuaciónDiferencial Ordinaria de Lineal de Segundo 2. 2 dx dx
Orden

Como ejemplos de Ecuaciones Diferenciales no lineales, tenemos:

3

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Ejemplos
y´´+5( y´)3 − 4 y = x 2. yy´−2 x = 2 3. ( x + y ) dx + ( x − y ) dy = 0
1.

y´− y = e y 5. y´− y = cos y
4.

Usualmente una Ecuación Diferencial Lineal Ordinaria se puederepresentar en forma polinómica de la siguiente manera:

[an ( x)]y ( n) + [an−1 ( x)]y ( n−1) +

+ [a0 ( x )]y = g ( x)

1.1.5 Solución de una Ecuación Diferencial
Se dice que una función

y = f (x )

definida en un intervalo

I , es

solución de una ecuación diferencial en el intervalo I , si sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una proposición verdadera; es decir, seconvierte en una identidad.

Ejemplo
Determinar si la función y = f ( x) = SOLUCIÓN: De
y= x4 16
1 x4 es solución de la ecuación y´−xy 2 = 0 . 16

se obtiene y´= 4 x

3

16

=

x3 4

Reemplazando resulta:

y´− xy 1 / 2 = 0
1/ 2

4 x3 ⎛x ⎞ − x⎜ ⎟ = 0 4 ⎝ 16 ⎠ 3 2 x ⎛x ⎞ − x⎜ ⎟ = 0 4 ⎝ 4⎠ x3 x3 − =0 4 4 0=0 Por tanto, la función si es solución de la Ecuación Diferencial.

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