Ecuacionescuadraticas

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Profesor: Allan Gen Palma

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma:
ax 2 + bx + c = 0, en donde a, b y c son constantes, con a  IR, b  IR y c  IR,
además a  0 y x es la incógnita real.
Ejemplos: Obtención de los valores de a, b y c, en una ecuación de segundo
grado.
Determine los valores de a, b y c, dadaslas siguientes ecuaciones de
segundo grado.
a) 3x2 – 2x + 5 = 0, entonces

a=3

b = 2

c = 5.

b) x2 + 3x = 4, en este caso primero igualamos a cero así, x2 + 3x  4 = 0
entonces

a=1

b=3

c = 4.

c) 2x (x  3) + 1 = 0, en esta situación primero aplicamos la propiedad
distributiva así,
2x2  6x + 1 = 0, entonces

a=2

b = 6

c = 1.

d) 5x2 +2x = 0, entonces

a=5

b=2

c = 0.

e) x2 + 5 = 0,entonces

a = 1

b=0

c = 5.

El Discriminante de una Ecuación de Segundo Grado con una Incógnita.
Se denomina discriminante de una ecuación de segundo grado con una incógnita,
al número representado por la letra griega mayúscula  y se define de la siguiente
manera:
 = b 2  4ac

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Ejemplo:
Obtenga el discriminante de la ecuación 6x  2x2 + 1= 0.


Primero ordenamos la ecuación en forma descendente con respecto
a x.
2x2  6x + 1 = 0



Segundo determinamos los valores de a, b y c.
a = 2 b = 6 c = 1.



Tercero obtenemos el valor del discriminante.
 = (6)2  4(2)(1) = 36 + 8
 = 44

Estudio del Discriminante de una Ecuación de Segundo Grado con una
Incógnita.

El discriminante de una ecuación de segundo grado con unaincógnita, es un
número que discrimina las ecuaciones que tienen soluciones reales de las que no.
Así,
•Es número cuadrado perfecto, entonces la ecuación
tiene dos soluciones reales (racionales) distintas.
Si ∆ > 0
Si   0

•No es número cuadrado perfecto, entonces la
ecuación tiene dos soluciones reales (irracionales)
distintas.

•La ecuación tiene dos soluciones reales iguales o sea
Si ∆ = 0 unasolución real repetida o de multiplicidad dos.

Si  0

{ La ecuación NO tiene soluciones reales).

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Ejemplo: Número de soluciones de una ecuación de segundo grado con una
incógnita.
Determine el número de soluciones reales de las siguientes ecuaciones:

a) 2x2 + 3x = 2
2x2 + 3x  2 = 0
 = (3)2  4(2)(2) = 9 + 16 = 25, por lo que la ecuación tienedos
soluciones reales diferentes.
b) 4x2  4x + 1 = 0
 = (4)2  4(4)(1) = 16  16 = 0, por lo que la ecuación tiene dos
soluciones reales iguales o sea una solución repetida.
c) 2x2  3x + 5 = 0
 = (3)2  4(2)(5) = 9  40 = 31, por lo que la ecuación NO tiene
soluciones reales.

Fórmula General para la Solución de Ecuaciones de Segundo Grado con una
incógnita.

Existe una fórmula general pararesolver ecuaciones de segundo grado con una
incógnita, la cual se deducirá a continuación:
Partiendo de,
ax 2 + bx + c = 0, en donde a, b y c son constantes, con a  IR b  IR y c  IR,
además a  0 y x es la incógnita real

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(

)

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(

)
(
(

)

(

)

)

|

|

√

√

√

√

√

√
{

Ejemplo: Conjunto solución de una ecuación de segundo grado conuna incógnita.
Determine el conjunto solución S de las siguientes ecuaciones de segundo
grado.
a) 2x2 + 3x  2 = 0


Primero obtenemos el discriminante de la ecuación.
 = (3)2  4(2)(2) = 9 + 16 = 25.



Segundo aplicamos la fórmula general.

√

{

{

}

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Esta ecuación también puede ser resuelta, por medio de la factorización de un
polinomioy la propiedad absorbente del cero, este método justifica en parte del
¿para qué de la factorización?.
2x2 + 3x  2 = 0
Factorizando por medio de inspección obtenemos,
(x + 2)(2x  1) = 0
Utilizando la propiedad absorbente del cero tenemos que,
x + 2 = 0 ó 2x  1 = 0
 x = 2 y 2x = 1

{

}

b) x2  4x  2 = 0



Primero obtenemos el discriminante de la ecuación.
 = (4)2  4(1)(2) = 16 +...