EcuacionVectorialRecta

Ecuación vectorial de la recta
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:


     


Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial. 
Ecuaciones paramétricas de la recta
A partir de la ecuación vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:
     
Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.

Ecuación continua de la recta
Si de las ecuaciones paramétricas despejamosel parámetro k.

Y si igualamos, queda:
     
Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua.

Ecuación continua de la recta
Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.

Y si igualamos, queda:
     
Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua.Ecuación punto-pendiente de la recta
Pendiente
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos


Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si elángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.
Ecuación punto-pendiente
Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como:

Se obtiene:
     
Ejemplo:
1 Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

2Hallar laecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).


3Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.


Ecuación general de la recta
Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:


Trasponiendo términos:

Haciendo

Se obtiene
     
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. Deesta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.
Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Ejemplos:
1 Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).


2 Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.


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Ecuación de larecta en forma explícita
Si en la ecuación general de la recta:

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

     
El coeficiente de la x es la pendiente, m.
El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY
Ejemplos:
Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendientem=-2.


Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:

Cuyas componentes son:


Sustituyendo estos valores en la forma continua:
     
Ejemplos:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)


Ejercicios interactivos de ecuación de la recta I
Elige la opción correcta en cadacaso:
1Calcula la ecuación vectorial de la recta r que pasa por el punto (3, −1) y tiene por vector director






2Calcula la ecuación paramétrica de la recta r que pasa por el punto (6, 2) y tiene por vector director






3Calcula la ecuación continua de la recta r que pasa por el punto (1, −4) y tiene por vector de dirección






4Calcula la ecuación general de la recta r que pasa por el...