Ecuación De Bernoulli Y El Teorema De Buckingham

Mecánica de fluidos: ecuación de Bernoulli y el Teorema de Buckingham


Teorema de Buckingham


De acuerdo a esto, cualquier ecuación que represente un fenómeno físico involucrando las variables/parámetros (v1, v2, v3, . . . , vN) se debería poder expresar en la forma de
el segundo concepto, es en realidad una consecuencia del postulado de invariancia dimensional. Es decir, para que unaecuación que representa un fenómeno físico sea invariante ante un cambio en el sistema de medida (o unidades), la misma debe cumplir con el principio de homogeneidad dimensional:

Si una ecuación verdaderamente expresa una relación apropiada entre variables en un fenómeno físico, entonces cada uno de sus términos aditivos, deben necesariamente tener las mismas dimensiones o unidades. Entonces, sedice que la ecuación es dimensionalmente homogénea.


Una herramienta muy valiosa en el análisis dimensional es el conocido teorema de Buckingham. Mediante este teorema, es posible reducir el número de parámetros o variables de los cuales depende un fenómeno físico, mediante la generación de grupos adimensionales que involucran dichas variables.
Resulta particularmente valioso cuando no seconoce la ecuación que gobierna un fenómeno y se busca encontrar dicha relación mediante la experimentación de laboratorio. En las secciones siguientes vamos a enunciar el teorema, establecer un método para su aplicación y mostraremos su utilización a través del ejemplo clásico e ilustrativo de la pérdida de carga en tuberías de sección cilíndrica.


Consideremos un fenómeno físico, el cualdepende de N variables y/o parámetros (v1, v2, v3, . . . , vN), las cuales a su vez involucran K magnitudes físicas fundamentales (o básicas). Supongamos que existe una relación funcional entre las N variables, del tipo F(v1, v2, v3, . . . , vN) = 0 Luego, el teorema nos asegura que es posible representar el mismo fenómeno físico mediante otra relación funcional equivalente, que depende de
m = N − Kparametros adimensionales _i, es decir, de un número reducido de parámetros (_1, _2, _3, . . . , _m) = 0










Es importante aclarar que el teorema no aporta ninguna información acerca de la relación funcional F o _. Es decir que si no se conoce la ecuación que gobierna el fenómeno, mediante la aplicación del teorema no podremos determinarla.
El mismo sólo nos mostrará que gruposadimensionales se pueden formar a partir de las variables dimensionales originales.


Consideremos un tubo recto de sección cilíndrica (diámetro D) y longitud (l), por el cual circula en estado estacionario y con velocidad media V , un fluido de densidad y viscosidad μ, gracias a una diferencia de presión entre las secciones de entrada y salida (_p = pe−ps). Mediante algunos experimentos, sepudo determinar que existe una relación funcional el gradiente de presión.

Las variables anteriores y además la rugosidad de la pared del tubo Es decir, existe alguna F desconocida tal que F(_p/l, V, _, μ,D, _) = 0 (5)
Supongamos que deseamos realizar experimentos para determinar la forma de dicha función. En la forma como está planteada la relación, si jamos una variable y cambiamos cada una delas otras en forma independiente, (digamos en 10 valores por cada una, es fácil ver que necesitaríamos 105 experimentos para encontrar la función F. Una tarea claramente imposible, pero a la vez innecesaria.


Ecuación de Bernoulli:
Los efectos que se derivan a partir de la ecuación de Bernoulli eran conocidos por los experimentales antes de que Daniel Bernoulli formulase su ecuación, dehecho, el reto estaba en encontrar la ley que diese cuenta de todos esto acontecimientos. En su obra Hydrodynamica encontró la ley que explicaba los fenómenos a partir de la conservación de la energía (hay que hacer notar la similitud entre la forma de la ley de Bernoulli y la conservación de la energía).






Posteriormente Euler dedujo la ecuación para un líquido sin viscosidad con toda...