Ecuación De La Recta

ECUACIÓN DE LA RECTA
Diferentes formas de la recta
1.1 Al considerar la recta l que pasa por el origen 0 y que forma un ángulo de inclinación θ con el eje x (fig. 1)P2(X2, Y2)
P1(X1, Y1)

Fig. 1
Si tomamos sobre la recta los puntos P1(x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Como los triángulos OP1P’1,OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: 
y1x1=y2x2=y3x3 = const= tanθ=m

m = yX
Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)

 Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación θ con el eje x (fig. 1)
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. 
1.2 Ecuación De La Recta ConocidaSu Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y.
Considere una recta L de la que se conocen m (m = tan θ) y b ver fig. 2.

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1.3 Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida
Considere la recta L que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida. 
Al llamar b al intercepto de la recta L con el eje y, entonces la ecuación de L, vienedada por:
                y = mx + b             (1)
Como P1(x1, y1) L, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
                 y1 = mx1 + b          (2)

Fig.3
Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:
y – y1 = m(x – x1) (3)
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La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación dela recta.
Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma: 
y = mx + (y1 – mx1).
Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y1 – mx1
1.4 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
Sea la recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) y llámese a m1 su pendiente.

Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tienependiente m1, se tiene de acuerdo a fig. 4, que 
      y – y1 = m1 (x – x1)    (1)
Representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación.
   
Fig.4
Esto es y – y1 = m1 (x – x1); de (2)
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene
(3) 
La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.Observaciones
 
     i.    Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación 
          (3) también puede escribirse en la forma: 

            Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

   ii.   Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la 
      ecuación de la resta (3) también puedeescribirse en forma de determinante, así:
= 0

...
1.5 Ecuación segmentaria de la línea recta.
Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 5) 

Fig. 5

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por: 

Es decir,  de donde, 

Dividiendo esta última ecuación por b,se obtiene:
(1)
La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)
y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)
x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

1.6 Ecuación general de lalínea recta.
La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y. 

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan...