ECUACONES DIFERENCIALES

1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN


1.1 CONCEPTOS

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas en sus términos. Si las derivadas son ordinarias, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria. El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden.

Se llama solución de la ecuación diferencial una función quesatisfaga dicha ecuación. Al resolver una ecuación diferencial de orden n, por lo general se obtiene una solución con n constantes arbitrarias lo que determina una familia n-parametrica de soluciones. Si la solución no tiene constantes arbitrarias se llama solución particular. Si una solución no se puede obtener particularizando alguno de los parámetros en la familia de soluciones, se le llamasolución singular. A la solución Se le llama solución trivial. La solución general de la ecuación diferencial es aquella de la cual se puede obtener toda solución de la ecuación.

Con frecuencia es de interés resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas que se imponen a o a sus derivadas (las primeras (n-1) derivadas si la ecuación es de orden n), a esto se lellama problema de valor inicial y los valores dados a la función y a sus derivadas se llaman condiciones iniciales.



1.2 VARIABLES SEPARABLES

Definición
Una ecuación diferencial de primer orden es separable o de variables separables si se puede expresar como:



Método de Solución
La solución de la ecuación diferencial, se puede obtenerintegrando ambos lados de (donde , es decir, o .

Ejemplos

1.- Resolver
Solución:

Esta ecuación se puede expresar como



Por lo que la ecuación es de variables separables






2.- Resolver el problema de valor inicialSolución:

Claramente te ve que esta ecuación es de variables separables





La solución representa una familia de círculos concéntricos. Para obtener la solución particular que satisface las condiciones iniciales, se sustituyen los valores e En la familia desoluciones, así,



Es decir, el problema de valor inicial determina que (círculos con centro en cero y radio 5)


1.3 ECUACIONES EXACTAS

Definición

Una ecuación Diferencial Es una diferencial exacta en una región R del plano si corresponde a la diferencial de alguna función .Una ecuación de primer orden de la forma:



Es una ecuación diferencial exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.


Teorema

Sean Continuas, con derivadas parciales continuas en una región rectangular R, definida por , Entonces la condición necesaria y suficiente para queSea una diferencial exacta es que:




Método de Solución

Dada una ecuación de la Forma , se determina si es valida la ecuación (1). En caso afirmativo, existe una función para la cual



Se puede determinar si integramos Con respecto a ManteniendoConstante


En donde la arbitraria es la constante de integración.
Posteriormente, se deriva (2) con respecto a y suponemos que , esto es,



De lo cual se obtiene que



Por ultimo se integra (3) con respecto a y se sustituye en (2). La solución de la ecuación es

Ejemplo #1 Resolver...