ecuacuines

  Desigualdades con Valor Absoluto
En el capítulo 1 definimos el valor absoluto de un número real , que representamos por , mediante

También observamos en dicho capítuloque  representa la distancia del origen al punto , y de forma mas general que representa la distancia entre  y .
Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este secomporta muy bien con respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la sustracción.
Propiedades del valor absoluto. Si  y  son númerosreales arbitrarios entonces
1.
2.
3. , 
4.  (Desigualdad triangular)
5.  y 
La interpretación geométrica de  nos proporciona una justificación de las siguientes dospropiedades
Sea . Entonces
6.  es equivalente a 
7.  es equivalente a  o 
Gráficamente tenemos

Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es lasiguiente
8.  es equivalente a 
En las propiedades (6) a (8) el símbolo  puede remplazarse por .
Ejemplo 2.49. Resolvamos la desigualdad .
Utilizando la propiedad (6),tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo .
Ejemplo 2.50. Resolvamos la desigualdad .
La propiedad (7)nos dice que la desigualdad es equivalente a

Resolviendo

o sea

Por lo tanto, la solución de la desigualdad dada es 
Ejemplo 2.51. Resolvamos la desigualdad .
Utilizandola propiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Elaborando un diagrama de signos tenemos
Signo de 
+
-
-
Signo de 
-
-+
Signo de 
-
+
-
Vemos que la solución de la desigualdad es 
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