Ecuanciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
Introducción
Derivar:
Y= f(x)
dydx=f'(x) y=f(x)
Función en “x”
Definición: Contiene ddx ó dx
Ejemplo:
1. dydx=4x+7
2. y2dx+x2dy=0
3. md2ydt2=mg-kdydx
4. d2ydx23-cosxdydx=sinx

Clasificación de la ecuación diferencial
1ro> función incógnita: Depende de una sola variable.
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA (E.D.O)
1.x2d2ydx2+xdydx+x2-P2y=0
2. x-x2d2ydx2+y-y2dydx=0
Notación: Una ecuación ordinaria se presenta de la diferencial:
∈x,y,dydx.d2ydx2,,,,,,,,,,,,,,,,dnydxn=0 fx,y,dydx=0
Notación: Una ecuación ordinaria se presenta de la diferencial:
∈x,y,dydx.d2ydx2,,,,,,,,,,,,,,,,dnydxn=0 fx,y,dydx=0

2do> función incógnita: Depende de varias variables
ECUACION DIFERENCIALPARCIAL (E.D.P)
Ejemplo:
1. ∂2y∂t2=∂2∂2y∂x2
2. Notación:
fx,y,∂y∂x,∂2y∂x2,,,,,,,,,,,,,∂ny∂xn=0
fx,y,∂y∂x=0
Notación:
fx,y,∂y∂x,∂2y∂x2,,,,,,,,,,,,,∂ny∂xn=0
fx,y,∂y∂x=0
∂u∂t=h2∂2u∂x2

ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA (E.D.O)
El orden de una ecuación diferencial ordinaria está dado por el orden de la derivada de mayor orden.
Grado de una E.D.O:
Esta dado por el exponentede mayor orden por su exponente.
1.- exd2ydx2+sinxdydx=x 2do Orden; 1er Grado
2.- d3ydx3+2(d2ydx2)3+dydx=tanx 3er Orden; 1er Grado
3.- dydx+Px=Q(x) 1er Orden; 1er Grado
4.- (d3ydx3)2-2dydx4+dy=0 3er Orden; 2do Grado
Hallar el tipo, orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.- dydx=x+5 1er Orden; 1er Gado; E.D.O.
2.- ∂2z∂x2+∂2z∂x2=x2+y 1er Orden; 2do Grado; E.D.P.3.- d2ydx2+3dydx+2y=0 2do Orden; 1er Grado; E.D.O.
4.- xy'+y=3 1er Orden; 1er Grado; E.D.O.
5.- y'''+2(y'')2+y'=cosx 3er Orden; 1er Grado; E.D.O.
6.- ∂z∂x=z+x∂2∂x 1er Orden; 1er Grado; E.D.O.
7.- (y'')2+(y')3+3y=x2 2do Orden; 2do Grado; E.D.O.
8.- d3ydx3-dydx=e5x 3er Orden; 1er Grado; E.D.O.
Origen de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
Se puede afirmar que las ecuacionesdiferenciales son la piedra angular de muchas disciplinas científicas, biológicas, químicas.
Solución de una E.D.O:
Solución general:
Solución particular:
dydx=fx → y=fx+C
dydx=fx → y=fx+C

Ejemplo: hallar la solución general de una partícula de la E.D.O: Y’+3x=0 en P(2,3)
Solución:
dydx-3x=0
dydx=3x
dy=3xdx
y=3x22+C
Solución General
Para P (2,3)condiciones iniciales; donde X=2 y Y =3:
Reemplazando en la solucione general:

Solución Particular
Una vez hallada la solución general de una ecuación diferencial se procederá a hallar la solución particular este mediante ciertas restricciones como condiciones iniciales o de frontera.
Obtención E.D. a partir de la solución general:
Ejemplo:
1.- hallar la E.D a partir de:

2.-encuentra la E.D es:
…………. (1)

…………(2)

……….. (3)
+ (3)
(+)

3.- Obtener la E.D. cuya primitiva es (2-C)

……………… (1)
……………. (2)
………… (3)
+ (3)

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Se presenta de la siguiente forma

Ecuación diferencial de variables separadas:

Ejemplo:
1.- resolver:
Formula:

Factor integrante:

Entonces:

………… SoluciónGeneral

……………. Solución Primitiva
2.- Resolver:

………… u=y+1 ; du=dy

3.- Resolver:
a=(1+x) ; b=(1-y)

ECUACION DIFERENCIAL HOMOGÉNEAS:
FUNCION HOMOGÉNEA:
Se dice que la función f(x,y) es homogénea de grado “n” si solo si al reemplazar x=tx; y=ty.



Ejemplo:
1.- Sea:

….. …… Factor homogéneo.
2.- Determinar si las siguientes funciones son homogénea:
a.-n=3 función homogénea de grado 3
b.-

n=2 función homogénea de grado 2
b) definición de una E.D.O:
Es homogénea si la función N(x,y) son funciones homogéneas y del mismo grado x,y.

Ejemplo:
Determinar si son homogéneas:
1.-

n=3; E.D.H
2.-

n=2 n=3 E.D. no Homogénea.
3.-

E.D.H.
c) solución de una E.D.O Homogénea:
Sea:
1ro se verifica si es...