Ecuasiones diferenciales

1.1 Teoría preliminar
Las ecuaciones diferenciales tuvieron un origen de carácter puramente matemático, pues nacieron con el cálculo infinitesimal. El destino inmediato de esta herramienta fue, sin embargo, la explicación de fenómenos físicos, fue la estructura de la mecánica clásica y continúa siendo la base de la Física en general. Los fenómenos de mecánica de sólidos y
fluidos, el calor,la luz y el electromagnetismo fueron mejor comprendidos cuando se plantearon modelos matemáticos basados en las ecuaciones diferenciales. Hoy las ecuaciones diferenciales son el soporte que permite estudiar fenómenos incluidos en otras ciencias como la Economía, Biología, Química, etc.

1.1.1 Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado)
Ecuación diferencial: Una ecuación, diferencial esaquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales.
Orden: Orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más alta contenida en ella.
Grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial.

Para sintetizar la información anterior se presenta el siguiente cuadro sinóptico:Ejemplo de ecuaciones diferenciales:
Ecuación
Tipo
Orden
Grado
Lineal

Ordinaria
1
1
Sí

Parcial
1
1
Sí

Ordinaria
2
1
Sí

1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales
Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta unaidentidad.
Solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).
Solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.

Ejemplo:
La función es la solución general de la ecuación diferencial:

Porque derivándola implícitamente tenemos:,
O expresado en otra forma:

Sustituyendo y obtenemos una identidad:


Ejemplo:
La función es solución particular de la ecuación diferencial , porque derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, obtenemos:


Solución singular de una ecuación diferencial es una función cuya tangente a su gráfica en cualquier punto coincide con la tangente de otra solución, pero ya nocoincide con esta última tangente en ninguna vecindad del punto por pequeña que ésta sea.
Ejemplo:
Hallar las soluciones singulares, si las hay, de la ecuación diferencial:

Derivando con respecto a , tenemos:

De donde ; sustituyendo en la ecuación, obtenemos , que es la solución singular.
En efecto, las soluciones generales de dicha ecuación son:

Y para el punto su gráfica esY es el punto de contacto con las pendientes de en el punto
1.1.3 Problema del valor inicial
Problema con valor inicial es la ecuación diferencial acompañada de condiciones iniciales.
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:

Para la condición inicial: cuando , o bien, brevemente:

La ecuación puede escribirse como:

Integrando ambos lados de la igualdad, tenemos:Sustituyendo los valores del punto , tenemos que:
Entonces la solución particular es:

Geométricamente, la solución general representa una familia de curvas.
Así: representa una familia de circunferencias (figura 1.2).










La solución general es una familia de parábolas (figura 1.3). La solución particular es una de las curvas de la familia, precisamente la que se obtienecuando las constantes arbitrarias toman un valor específico a causa de las condiciones iniciales. Así, en las figuras 1.2 y 1.3 la forma que tiene la solución particular para y , es y
, respectivamente.

Isoclinas son curvas que atraviesan segmentos de pendientes idénticas.













1.1.4 Teorema de existencia y unicidad
Dada una ecuación diferencial

Donde está...