Ecuasiones Simultaneas

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Tema 1 Ecuaciones simultáneas |

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En la papelería de Chucho un señor le compró 3 gomas y 2 lápices, por ellos pagó 9.50 pesos. Si la suma de lo que cuesta una goma y un lápiz es 4 pesos. ¿Cuánto vale cada goma y cada lápiz? Chucho, para resolver este problema, piensa así:Necesito encontrar dos números que sumados me den 4 pesos, que es lo que cuestan una goma y un lápiz. |
a+b =4----- (1) |
a = precio de cada gomab = precio de cada lápiz |
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Como en esta ecuación se tienen dos incógnitas, "a" y "b", no puede ser resuelta con una sola ecuación, por lo que se necesita otra diferente que también incluya las dos incógnitas. Chucho dice que si sabe que vendió 3 gomas (a) y 2 lápices (b) y que por ellas le pagaron 9.50 pesos, puede plantear otra ecuación que incluya lasgomas y los lápices diferente a la anterior, esta sería: |
3a+2b =9.50 ----- (2) |
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Estas dos ecuaciones son diferentes, pero ambas se refieren a las mismas incógnitas, por lo que se llaman ecuaciones simultáneas. |
a+b =4 ----- (1) | Es la suma del costo de una goma y un lápiz. |
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3a+2b =9.5 -- (2) | Es lo que cobró Chucho por la venta de tres gomas y dos lápices. |
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|Chucho dice que para conocer el valor de las dos incógnitas es necesario seguir los siguientes pasos. |
Paso 1Se selecciona la ecuación de menor tamaño o con menos complicación para despejar a una de las dos incógnitas. De ella se despeja la incógnita que sea más fácil de dejar sola. En este caso, la ecuación más sencilla y sin complicaciones para despejar es la (1). a+b =4 ----- (1) |
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Paso2De la ecuación seleccionada, se despeja una de las dos incógnitas. a+b =4 |
Para dejar sola a la "a", se resta "b" en los dos términos: a + b - b = 4 – b |
Como +b - b = 0, la ecuación queda así: a = 4 – b |
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Paso 3Ahora, esta ecuación se sustituye en la otra ecuación simultánea. Se debe sustituir a = 4 - b en: 3a + 2b = 9.50 ------------ (2) |
Esto implica que en donde se encuentre "a" enla segunda ecuación se debe poner "3 - b". 3 (4 - b) + 2b = 9.50 |
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Paso 4Se realizan las operaciones necesarias para simplificar al máximo las ecuaciones. 3 (4 - b) + 2b = 9.5012 - 3b + 2b = 9.5012 - b = 9.50 |
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Paso 5La ecuación que resultó es una ecuación con una sola incógnita (b), por lo que se puede obtener el valor de esa incógnita al despejarla. 12 - b = 9.50 |
Para despejar"b", se resta en ambos términos doce: |
12 - 12 - b = 9.50 - 12 |
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Al realizar las operaciones se tiene: |
0 - b = - 2.50 |
Para obtener el valor positivo de "b", se pueden multiplicar ambos términos por - 1 y la ecuación no se altera. - b = - 2.50 |
Multiplicado por - 1 se tiene: (- b) (- 1) = (- 2.50) (- 1) b = 2.50 |
Con lo anterior se ha logrado conocer el valor de "b", o sea, loque cuesta un lápiz. |
Paso 6Al conocer el valor de una de las dos incógnitas se podrá sustituir su valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales y con ello obtener una ecuación con una sola incógnita, observe:Si b = 2.5, sustituya el valor de "b" en la ecuación (a + b = 4) y se tiene lo siguiente: a + (b) = 4a + (2.5) = 4-------------- (nueva ecuación) |
Para despejar a la incógnita"a", se resta 2.5 en los dos términos: a + 2.5 - 2.5 = 4 - 2.5 |
Se realizan las operaciones y queda que a = 1.50Con lo que se sabe que las gomas valen un peso con cincuenta centavos.Con lo anterior Chucho sabe que cada lápiz vale dos cincuenta y cada goma uno cincuenta.Para comprobar que esto es verdad, sustituye los valores obtenidos (a = 1.50, b = 2.50) en las dos ecuaciones planteadas.Ecuacionesoriginales: a + b = 4 ---------- (1) 3a + 2b = 9.50 ------- (2) |
Sustituyendo a = 1 y b = 2 en la ecuación (1) se tiene que: |
a + b = 4
(1.50) + (2.50)=4
4 = 4 |
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Sustituyendo a = 1.5 y b = 2.5 en la ecuación (2) se tiene que: |
3a + 2b = 9.50
3(1.50)+2(2.50)=9.50
4.50 + 5 = 9.50
9.50 = 9.50 |
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Como la igualdad se cumple en las dos ecuaciones, los resultados obtenidos...