Ecucaciones diferenciales de 1er grado y 1er orden.

Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior.
I.U.T.A. Puerto la Cruz.
Edo- Anzoátegui.

Ecuaciones diferenciales de 1er Grado y 1er orden.

Bachiller:

Cátedra:
Matemática.
Semestre: 1ro
Sección: 01.
Conclusión

Existen varias clases de ecuaciones, pero en este trabajo nos vamos a enfocar en las ecuaciones de primer grado con unaincógnita; específicamente las fraccionarias, pero es necesario explicar en qué consisten una ecuación.

Se dice que son de primer grado cuando la letra “X” no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).

Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria dónde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente.

Ecuacionesdiferenciales de 1er orden:

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria dónde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

(1a)

o en su forma implícita:

(1b)

Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer ordenEcuaciones de variables separables:

Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:

(2a)

Se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:

(2b)

Ecuaciones homogéneas:Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:

Sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por x3 o y3 en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este casosegún la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:

o bien

Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha establecido.

El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

(3a)

Introduciendo lavariable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

(3b)

Ecuaciones lineales de primer orden:

La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

(4a)

Y la solución de la misma viene dada por:

(4b)

Ecuación diferencial de Bernoulli:

Una ecuación de Bernoulli es aquella que tiene la forma:

(5a)

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuascualesquiera. Su solución para α > 1 viene dada por:

(5b)

Ecuaciones diferenciales de 1er grado:

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistemacartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es:

Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).

Las ecuaciones en las que aparece el término (llamado rectangular) no son consideradas lineales.

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:


La herramienta matemática necesaria para resolver unaecuación de primer grado es: la factorización de expresiones algebraicas, las propiedades de los logaritmos naturales, y en forma más especifica integración por partes.

Ahora bien, con esta definición se pueden señalar que los métodos usuales para la solución de una ecuación diferencial de primer grado homogénea son 3, dado que el método de sustitución (cuya forma son y=ux o x=vy) nos lleva al...