Ecuciones no lineales
Páginas: 11 (2596 palabras)
Publicado: 5 de abril de 2011
ECUACIONES NO LINEALES
I.- Introducción:
Consideremos el problema físico de hallar la porción de una esfera de radio r que queda sumergida al meter la esfera en agua (ver Fig. 1). Supongamos que la esfera está construida con una variedad de pino que tiene una densidad de ρ = 0,638 gr/cm3 y que su radio mide r = 10 cm.
¿Cuánto vale la profundidad “d” a la que está sumergido el polo sur de laesfera?
La masa Ma de agua desplazada cuando la esfera se sumerge es:
Y la masa de la esfera es Me = 4πr3 ρ /3. Aplicando el principio de Arquímedes Ma = Me, obtenemos la siguiente ecuación que debemos resolver:
Figura 1: Porción de una esfera de radio r sumergida y profundidad d del polo sur.
En nuestro caso (con r = 10 y ρ = 0,638) la ecuación es:
La gráfica del polinomio cúbicoy = 2552 – 30 d2 + d3 se muestra en la Fig. 2 y en ella podemos ver que la solución está cerca de d = 12.
El objetivo de esta unidad es el desarrollo de algunos métodos que nos permitan calcular aproximaciones numéricas a las raíces de una ecuación. Por ejemplo, podríamos usar el método de bisección para obtener las tres raíces d1 = −8,17607212, d2 = 11,86150151 y d3 = 26,31457061.
La primerasolución d1 no es una solución aceptable del problema porque d no puede ser negativo.
La tercera solución d3 es mayor que el diámetro de la esfera, así que no es la solución buscada.
La raíz d2 = 11,86150151 está en el intervalo [0, 20] y es la solución adecuada. Su magnitud es razonable porque nos dice que sólo se sumerge un poco más de media esfera.
II.- Objetivos:
* Localización delas raíces por el método de dibujar la ecuación.
* Localización de las raíces descomponiendo la función.
III.- Marco Teórico:
1) Métodos iterativos para resolver x = g (x):
Una técnica fundamental en computación científica es la de iteración. Como su propio nombre sugiere, se trata de repetir un proceso hasta que se obtiene un resultado. Se usan métodos iterativos para hallar raícesde ecuaciones, soluciones de los sistemas lineales y no lineales y soluciones de ecuaciones diferenciales. En esta sección estudiaremos el proceso de iteración que consiste en sustituir repetidamente en una misma fórmula el valor previamente obtenido.
Necesitamos una regla, fórmula o función g (x), con la que calcularemos los sucesivos términos, junto con un valor de partida p0. Lo que seproduce es una sucesión de valores {pk} obtenida mediante el proceso iterativo pk+1 = g (pk).
La sucesión se ajusta al siguiente patrón:
p0 (valor de partida)
p1 = g (p0)
p2 = g (p1)
...
pk = g (pk−1)
pk+1 = g (pk)
¿Qué nos dice una sucesión interminable de números como ésta?
Si los números tienden a un límite, entonces podemos afirmar que tenemos algo entre manos. Pero, ¿qué ocurre silos números divergen o son periódicos?
El ejemplo siguiente nos muestra una situación como ésta.
Ejemplo 1: El proceso iterativo p0 = 1 y pk+1 = 1,001pk para k = 0, 1,. . . produce una sucesión divergente; sus primeros y centésimo términos son:
p1 = 1,001p0 = (1,001) (1,000000) = 1,001000,
p2 = 1,001p1 = (1,001) (1,001000) = 1,002001,
p3 = 1,001p2 = (1,001) (1,002001) = 1,003003,
.
.
.p100 = 1,001p99 = (1,001) (1,104012) = 1,105116.
Este proceso puede continuarse indefinidamente y es fácil probar que se verifica que Limn→∞ pn= +∞
En esta sección estudiaremos qué tipos de funciones g (x) producen sucesiones {pk} que convergen.
2) Puntos Fijos:
* Definición 1 (Punto fijo): Un punto fijo de una función g (x) es un número real P tal que P = g (P).Geométricamente hablando, los puntos fijos de una función g (x) son los puntos de intersección de la curva y = g (x) con la recta y = x.
* Definición 2 (Iteración de punto fijo): La iteración pn+1 = g (pn) para n = 0, 1, . . . se llama iteración de punto fijo.
* Teorema 1: Supongamos que g es una función continua y que Pnn=0∞ es una sucesión generada por iteración de punto fijo. Si Limn→∞ pn= p,...
I.- Introducción:
Consideremos el problema físico de hallar la porción de una esfera de radio r que queda sumergida al meter la esfera en agua (ver Fig. 1). Supongamos que la esfera está construida con una variedad de pino que tiene una densidad de ρ = 0,638 gr/cm3 y que su radio mide r = 10 cm.
¿Cuánto vale la profundidad “d” a la que está sumergido el polo sur de laesfera?
La masa Ma de agua desplazada cuando la esfera se sumerge es:
Y la masa de la esfera es Me = 4πr3 ρ /3. Aplicando el principio de Arquímedes Ma = Me, obtenemos la siguiente ecuación que debemos resolver:
Figura 1: Porción de una esfera de radio r sumergida y profundidad d del polo sur.
En nuestro caso (con r = 10 y ρ = 0,638) la ecuación es:
La gráfica del polinomio cúbicoy = 2552 – 30 d2 + d3 se muestra en la Fig. 2 y en ella podemos ver que la solución está cerca de d = 12.
El objetivo de esta unidad es el desarrollo de algunos métodos que nos permitan calcular aproximaciones numéricas a las raíces de una ecuación. Por ejemplo, podríamos usar el método de bisección para obtener las tres raíces d1 = −8,17607212, d2 = 11,86150151 y d3 = 26,31457061.
La primerasolución d1 no es una solución aceptable del problema porque d no puede ser negativo.
La tercera solución d3 es mayor que el diámetro de la esfera, así que no es la solución buscada.
La raíz d2 = 11,86150151 está en el intervalo [0, 20] y es la solución adecuada. Su magnitud es razonable porque nos dice que sólo se sumerge un poco más de media esfera.
II.- Objetivos:
* Localización delas raíces por el método de dibujar la ecuación.
* Localización de las raíces descomponiendo la función.
III.- Marco Teórico:
1) Métodos iterativos para resolver x = g (x):
Una técnica fundamental en computación científica es la de iteración. Como su propio nombre sugiere, se trata de repetir un proceso hasta que se obtiene un resultado. Se usan métodos iterativos para hallar raícesde ecuaciones, soluciones de los sistemas lineales y no lineales y soluciones de ecuaciones diferenciales. En esta sección estudiaremos el proceso de iteración que consiste en sustituir repetidamente en una misma fórmula el valor previamente obtenido.
Necesitamos una regla, fórmula o función g (x), con la que calcularemos los sucesivos términos, junto con un valor de partida p0. Lo que seproduce es una sucesión de valores {pk} obtenida mediante el proceso iterativo pk+1 = g (pk).
La sucesión se ajusta al siguiente patrón:
p0 (valor de partida)
p1 = g (p0)
p2 = g (p1)
...
pk = g (pk−1)
pk+1 = g (pk)
¿Qué nos dice una sucesión interminable de números como ésta?
Si los números tienden a un límite, entonces podemos afirmar que tenemos algo entre manos. Pero, ¿qué ocurre silos números divergen o son periódicos?
El ejemplo siguiente nos muestra una situación como ésta.
Ejemplo 1: El proceso iterativo p0 = 1 y pk+1 = 1,001pk para k = 0, 1,. . . produce una sucesión divergente; sus primeros y centésimo términos son:
p1 = 1,001p0 = (1,001) (1,000000) = 1,001000,
p2 = 1,001p1 = (1,001) (1,001000) = 1,002001,
p3 = 1,001p2 = (1,001) (1,002001) = 1,003003,
.
.
.p100 = 1,001p99 = (1,001) (1,104012) = 1,105116.
Este proceso puede continuarse indefinidamente y es fácil probar que se verifica que Limn→∞ pn= +∞
En esta sección estudiaremos qué tipos de funciones g (x) producen sucesiones {pk} que convergen.
2) Puntos Fijos:
* Definición 1 (Punto fijo): Un punto fijo de una función g (x) es un número real P tal que P = g (P).Geométricamente hablando, los puntos fijos de una función g (x) son los puntos de intersección de la curva y = g (x) con la recta y = x.
* Definición 2 (Iteración de punto fijo): La iteración pn+1 = g (pn) para n = 0, 1, . . . se llama iteración de punto fijo.
* Teorema 1: Supongamos que g es una función continua y que Pnn=0∞ es una sucesión generada por iteración de punto fijo. Si Limn→∞ pn= p,...
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